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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 5
a) Montrer que si u ∈ Sp, P est unique ; on le notera Pu.
b) Montrer que Sp est un R-espace vectoriel.
c) Montrer que φ, qui à u associe Pu, est linéaire et donner une base de son noyau.
Que représente son image ?
d) Donner une base de Sp (on pourra utiliser Rk(X) = (X + 1) k − aX k pour
k ∈ [[0, p]]).
e) Application : déterminer la suite (un) définie par
u0 = −2 et un+1 = 2un − 2n + 7
Exercice 30 [ 00075 ] [correction]
I) Soient E l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K (K = R ou C)
de degrés inférieurs ou égaux à n et f l’endomorphisme de E défini par
f(P ) = P − P ′
a) Démontrez que f est bijectif de deux manières :
- sans utiliser de matrice de f ;
- en utilisant une matrice de f.
b) Soit Q ∈ E. Trouvez P tel que f(P ) = Q.
Indice : si P ∈ E, quel est le polynôme P (n+1) ?
II) Calculer
(on pourra calculer Sk(x) = +∞
n=0
S0(x) =
x 3n+k
(3n+k)!
+∞
n=0
x 3n
(3n)!
pour k ∈ {0, 1, 2})
Exercice 31 [ 00077 ] [correction]
I) Soient θ ∈ R et n ∈ N ⋆ . Décomposez en produit de polynômes irréductibles
dans C [X], puis dans R [X] le polynôme
II) Etablir l’égalité
P (X) = X 2n − 2X n cos(nθ) + 1
1
x x dx =
0
+∞
n=1
(−1) n−1
n n
Exercice 32 [ 00078 ] [correction]
I) Soient E un espace vectoriel sur R ou C et f,g deux endomorphismes de E tels
que
f ◦ g = Id
a) Démontrez que ker(g ◦ f) = ker f.
b) Démontrez que Im(g ◦ f) = Img.
c) Démontrez que E = ker f ⊕ Img
II) Soient x ∈ R et θ ∈ ]0, π/2[.
a) Calculer la partie imaginaire du complexe
sin θe iθ
1 − x sin θe iθ
b) En déduire le développement en série entière de
f(x) = arctan x − 1
tan θ
Exercice 33 [ 00083 ] [correction]
I) a) Donnez l’idée de la démonstration de la formule de Leibniz concernant la
dérivée n-ième d’un produit de fonctions.
b) On pose
f(x) = e2x
1 + x
pour x > −1
Calculer f (n) (x) pour tout n ∈ N.
II) Soit E un espace euclidien de dimension n 2, a un vecteur unitaire de E et k
un réel, k = −1.
a) Montrer que
f(x) = x + k(x | a)a
définit un endomorphisme autoadjoint de E.
b) Montrer que f est un automorphisme.
c) Etudier les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.
Exercice 34 [ 01767 ] [correction]
I) Soit la matrice
où a, b, c sont des réels.
⎛
M = ⎝
0 a c
b 0 c
b −a 0
⎞
⎠
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