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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 9
II) Soit E un R-espace vectoriel euclidien et u dans L(E).
a) Montrer que ker u ⋆ = (Imu) ⊥ et Imu ⋆ = (ker u) ⊥ .
b) On suppose u 2 = 0.
Montrer que ker(u + u ⋆ ) = ker u ∩ ker u ⋆ .
Montrer que u + u ⋆ inversible ⇔ ker u = Imu.
Exercice 48 [ 02493 ] [correction]
I) Cours : Théorème de Cauchy-Lipschitz pour l’équation y ′′ = f(y, y ′ ).
II) Soit a1, . . . , an ∈ C⋆ ⎛
, tous
⎞
distincts et P (x) = det(A + xIn) avec
0 a2 · · · an
⎜
⎟
⎜ a1
A = ⎜ 0 . ⎟
⎜
⎝
. ⎟
. .. an
⎠
a1 · · · an−1 0
.
a) Calculer P (ai) et décomposer
b) En déduire det A.
n
i=1
P (x)
(x−ai)
Exercice 49 [ 02494 ] [correction]
I) Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle
y ′ − x
x2 y = 2x
− 1
en éléments simples.
II) Montrer que dans R 3 euclidien : a ∧ (b ∧ c) = (a | c)b − (a | b)c. (on pourra
utiliser les coordonnées de a, b, c dans une base où elles comportent un maximum
de 0)
Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de f(x) = a ∧ (a ∧ x) où a est un
vecteur unitaire puis reconnaître f.
Exercice 50 [ 02495 ] [correction]
I) Soient a, b, c ∈ R et la matrice
⎛
M = ⎝
0 a c
b 0 c
b −a 0
M est-elle diagonalisable dans M3(R) ? dans M3(C) ?
⎞
⎠
II) Domaine de définition de
S(t) =
+∞
k=0
1
k 2 − t 2
Calculer les coefficients de Fourier an et bn de f(x) = cos(αx) définie sur [−π, π]
avec α ∈ R\Z.
Sur quel domaine f coïncide avec son développement en série de Fourier ?
En déduire une expression de S(t).
Exercice 51 [ 02496 ] [correction]
I) Extremum locaux et globaux de f(x, y) = y(x 2 + (ln y) 2 ).
II) Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n.
Montrer que (I, f, f 2 , . . . , f n2)
est liée et en déduire qu’il existe un polynôme non
identiquement nul qui annule f.
Exercice 52 [ 02497 ] [correction]
I) Soit f une application continue de R × [a, b] dans R.
a) Expliquer pourquoi f est uniformément continue sur S × [a, b] pour tout
segment S de R.
En déduire que F : x ↦→ b
f(x, t)dt est continue sur R.
a
b) Pour x ∈ R, on pose g(x) = 1
0 extdt. A l’aide de la question précédente, étudier
la continuité de g. Retrouver le résultat en calculant g(x).
II) Soit a un réel. Pour M ∈ Mn(R), on poser L(M) = aM + tr(M)In (avec
n 2)
a) Montrer que L est un endomorphisme de Mn(R) et trouver ses éléments
propres et son polynôme minimal.
b) Pour quels a, l’endomorphisme L est-il un automorphisme ?
Trouver son inverse dans ces cas.
Exercice 53 [ 02498 ] [correction]
I) Soit f continue de R dans R. On suppose que +∞
f(t) dt converge.
0
1 x
Calculer lim
x→+∞ x tf(t) dt.
0
II) Pour (i, j) ∈ [[1, n]] 2 , on considère ai ∈ R et bj ∈ R tels que ai + bj
= 0.
Calculer det
.Traiter le cas particulier ∀i ∈ [[1, n]] , ai = bi = i.
1
ai+bj
1i,jn
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