[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 86
Par périodicité et translation
et en sommant
On en déduit
π
−π
π
−π
cos 2 (2x) dx =
π
−π
sin 2 (2x) dx
cos 2 π
(2x) dx + sin
−π
2 π
(2x) dx = dx = 2π
−π
f4 2 = f5 2 = 1
c) F = Vect(f1, f2, f3) donc F ⊥ = Vect(f4, f5) car on a admit la famille
(f1, . . . , f5) orthonormée.
II) a) Par parité de la fonction intégrée, on a
I(−b, −a) = I(a, b)
Par le changement de variable u = 1/t, on obtient
En particulier
I(1/a, 1/b) =
b
alors que par échange des bornes
On en déduit
a
1 + 1
t 2
1 − 1
t 2
1 + 1
t 4
I(1/a, a) = I(a, 1/a)
I(1/a, a) = −I(a, 1/a)
I(1/a, a) = 0
b) En procédant aux changements de variable proposés
et donc
I(a, b) =
b+1/b
a+1/a
− dv
v √ v2 − 2 =
2
b/(b +1)
a/(a2 +1)
I(a, b) = 1
√ arcsin
2
√ 2
b/(b +1)
2t
a/(a2 +1)
− dt
= I(a, b)
t2 dt
√ 1 − 2t 2
c) Le changement de variable v = x + 1/x n’est pas bijectif quand x parcourt
]0, +∞[ mais dans les calculs précédents, il était possible de l’exploiter sans
exprimer x en fonction de v. L’hypothèse a, b > 1 n’a donc pas été utilisée dans
l’étude qui précède et donc le résultat proposé se généralise immédiatement.
Exercice 143 : [énoncé]
I) a) (IdE, f, . . . , f n2)
est une famille de n2 + 1 vecteurs de l’espace L(E) qui est
de dimension n2 ; cette famille est nécessairement liée. Une relation linéaire sur les
éléments de la famille (IdE, f, . . . , f n2)
fournit un polynôme annulateur non nul de
f, polynôme dont les coefficients sont les coefficients de la relation linéaire écrite.
b) Soit x = 0E vecteur propre de f associé à la valeur propre λ. On a f(x) = λx
et par récurrence f n (x) = λnx pour tout n ∈ N. Par linéarité, on obtient
Pour P annulateur de f, on obtient
∀P ∈ K [X] , P (f)(x) = P (λ)x
P (λ)x = 0E avec x = 0E
donc nécessairement P (λ) = 0.
II) Posons
fn : x ↦→ (−1)n
x
sin
n n
Puisque les fonctions fn sont toutes impaires, on limite l’étude à x ∈ [0, +∞[.
A partir d’un certain rang Nx, on a x/n π/2 et alors
sin (x/n) ∈ [0, 1]
La série numérique fn(x) vérifie alors les hypothèses du critère spécial des
séries alternées à partir du rang Nx et par conséquent cette série converge.
Ainsi la série de fonctions fn converge simplement sur R et donc sa fonction
somme, que nous noterons S, est définie sur R.
Les fonctions fn sont de classe C 1 et
de sorte que
f ′ n(x) = (−1)n
n 2
cos
x
n
f ′ n ∞,R = 1
n 2
On en déduit que la série de fonctions f ′ n converge normalement sur R et donc
la fonction S est de classe C 1 sur R, a fortiori cette fonction est continue.
Exercice 144 : [énoncé]
I) a) Soit q ∈ ]ℓ, 1[. A partir de la définition quantifiée de la limite avec
ε = q − ℓ > 0, il existe un rang N ∈ N à partir duquel
un+1
un
q
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