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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 35
Exercice 11 : [énoncé]
a) La fonction f est impaire car produit d’une fonction paire par la primitive
s’annulant en 0 d’une fonction paire.
b) f est solution de l’équation différentielle
y ′ = xy + 1
c) La fonction t ↦→ e−t2 /2 est développable en série entière sur R, ces primitives le
sont donc aussi et, par produit de fonctions développable en série entière, on peut
affirmer que f est développable en série entière sur R . Par imparité, on peut
écrire ce développement
et l’équation différentielle donne
On en déduit
f(x) =
Exercice 12 : [énoncé]
On définit f : R × ]0, +∞[ → R par
+∞
n=0
anx 2n+1
∀n ∈ N ⋆ , (2n + 1)an = an−1 et a0 = 1
an = 2n n!
(2n + 1)!
f(x, t) = e−at − e −bt
t
cos(xt)
a) Pour x ∈ R, la fonction t ↦→ f(x, t) est définie et continue par morceaux sur
]0, +∞[.
Quand t → +∞, t 2 f(x, t) → 0 et quand t → 0 + , f(x, t) → b − a donc t ↦→ f(x, t)
est intégrable sur ]0, +∞[.
b) Pour x ∈ R, la fonction t ↦→ f(x, t) est dérivable et
La fonction ∂f
∂x
avec ϕ fonction intégrable.
∂f
∂x (x, y) = (e−bt − e −at ) sin(xt)
est continue sur R × ]0, +∞[ et
∂f
(x, t)
∂x
e−at + e −bt = ϕ(t)
On en déduit que F est de classe C1 sur R et
F ′ +∞
(x) =
Or +∞
donc
0
c) On en déduit
0
(e −bt − e −at ) sin(xt) dt
e −ct +∞
sin(xt) dt = Im e
0
(−c+ix)t
x
dt =
c2 + x2 F ′ (x) =
F (x) = 1
2 ln
x
x2 −
+ b2 x 2 + b 2
x 2 + a 2
x
x 2 + a 2
+ C te
Pour déterminer la constante, on étudie la limite de F en +∞. Posons
0
ψ(t) = e−at − e −bt
t
ce qui définit une fonction de classe C1 intégrable ainsi que sa dérivée sur ]0, +∞[.
Par intégration par parties généralisée justifiée par deux convergences
+∞
ψ(t) cos(xt) dt = 1
+∞
1
[ψ(t) sin(xt)]+∞ 0 − ψ
x x
′ (t) cos(xt) dt
et donc +∞
ψ(t) cos(xt) dt
On peut conclure
0
F (x) = 1
2 ln
1
x
+∞
|ψ ′ (t)| dt → 0
0
x 2 + b 2
x 2 + a 2
Exercice 13 : [énoncé]
La matrice A est symétrique réelle donc diagonalisable.
Après calculs
χA = −(X + 3)(X − 3) 2
Le sous-espace propre associé à la valeur propre 3 est le plan d’équation
x + y + z = 0.
Les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle étant deux à deux
orthogonaux, on peut affirmer que le sous-espace propre associé à la valeur propre
−3 est la droite x = y = z.
0
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