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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 95
Exercice 159 : [énoncé]
I) a) On a toujours ker f ⊂ ker(g ◦ f).
Inversement, pour x ∈ ker(g ◦ f), on a g ◦ f(x) = 0 donc f ◦ g ◦ f(x) = f(0) = 0.
Or f ◦ g = Id donc f(x) = 0.
Ainsi ker(g ◦ f) ⊂ ker f puis ker(g ◦ f) = ker f.
b) On a toujours Im(g ◦ f) ⊂ Img.
Inversement, pour y ∈ Img, il existe x ∈ E tel que y = g(x) et alors
y = g ◦ f ◦ g(x) = (g ◦ f)(g(x)) ∈ Im(g ◦ f).
Ainsi Img ⊂ Im(g ◦ f) puis Im(g ◦ f) = Img
c) Soit x ∈ ker f ∩ Img. Il existe a ∈ E tel que x = g(a) et alors f(x) = 0 donne
f(g(a)) = 0 d’où a = 0 car f ◦ g = Id. On en déduit x = g(a) = 0 et donc
ker f ∩ Img = {0}.
Soit x ∈ E. On peut écrire x = (x − g(f(x))) + g(f(x)) avec g(f(x)) ∈ Img et
x − g(f(x)) ∈ ker f car
f (x − g(f(x))) = f(x) − (f ◦ g)(f(x)) = f(x) − f(x) = 0
Ainsi E = ker f + Img et finalement
E = ker f ⊕ Img
II) Notons que l’intégrale In est bien définie.
a) En découpant par la relation de Chasles et en procédant au changement de
variable x = 1/t sur la deuxième intégrale, on obtient.
b) On peut écrire
D’une part
1
0
1
In =
0
1 + tn−2 dt
1 + tn 1
t
In = 1 +
0
n−2 − tn (1 + tn ) dt
tn 1
dt =
1 + tn n
ce qui donne par intégration par parties
avec
1
0
1
tn 1 1
dt = ln 2 −
1 + tn n n
1
0 ln(1 + t n 1
) dt
0
0
0
t ntn−1
dt
1 + tn 1
ln(1 + t n ) dt
0
t n dt = 1
→ 0
n + 1
D’une part
1
avec par intégration par parties
1
ε
1
t
0
nt n−1
dt =
1 + tn tn−2
1
dt =
1 + tn n ]0,1]
n 1
ln(1 + t )
Quand ε → 0 + , on obtient
1 nt
t
n−1
dt = ln 2 +
1 + tn où
On en déduit
]0,1]
0
]0,1]
ln(1 + t n )
t
t
ε
1
dt
0
1
t
nt n−1
dt
1 + tn 1
ln(1 + t
+
ε
n )
dt
t
]0,1]
In = 1 + o(1/n)
ln(1 + t n )
t
dt
t n−1 dt = 1
→ 0
n
Exercice 160 : [énoncé]
a) Pour ,
La suite de fonctions converge simplement vers sur .
On a
et donc
Ce majorant indépendant de tend vers 0 donc la suite de fonctions converge
uniformément vers sur .
b) Par convergence uniforme de cette suite de fonctions continues, on peut
échanger limite et intégrale
Par intégration par parties
Exercice 161 : [énoncé]
Posons
R1 = Rot k,π/2 et R2 = Rotcos θi+sin θj,π
La composée de deux rotations est une rotation, donc R1 ◦ R2 est une rotation.
Puisque les vecteurs k est u = cos θi + sin θj sont orthogonaux
et donc
R2(k) = −k
R1 ◦ R2(k) = −k
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