[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 39
Exercice 23 : [énoncé]
a) Le changement de variables proposé a pour jacobien
D(x, y)
D(r, θ) =
a cos θ −ar sin θ
b sin θ br cos θ = abr
Ce changement de variable donne
et donc
2π 1
I =
0
r=0
a 2 r 2 cos 2 θ + b 2 r 2 sin 2 θ × |abr| dr dθ
I = πab(a2 + b2 )
4
b) Par le paramétrage direct
x(t) = a cos t
avec t ∈ [0, 2π]
y(t) = b sin t
on obtient
puis au terme des calculs
c) On observe
2π
J = −
0
ab 3 sin 4 θ + a 3 b cos 4 θ dθ
J = − 3πab(a2 + b 2 )
4
J = −3I
ce qui est conforme à la formule de Green Riemann puisque
avec
y 3 dx − x 3 dy = P (x, y) dx + Q(x, y) dy
∂Q ∂P
(x, y) −
∂x ∂y (x, y) = −3(x2 + y 2 )
Exercice 24 : [énoncé]
a) Posons
P (x, y) = xy − y 2 + 1 et Q(x, y) = x 2 − xy − 1
Puisque
∂Q
∂x
= ∂P
∂y
la forme différentielle ω n’est pas fermée.
b) La forme différentielle
θ(x, y) = ω(x, y)f(xy)
est de classe C 1 sur l’ouvert étoilé R 2 , elle est donc exacte si, et seulement si, elle
est fermée. Cela équivaut à la satisfaction pour tout (x, y) ∈ R 2 de l’équation
(2x − y)f(xy) + y(x 2 − xy − 1)f ′ (xy) = (2y − x)f(xy) + x(xy − y 2 + 1)f ′ (xy)
Après simplification, on obtient
(x + y) (f(xy) − f ′ (xy)) = 0
Par suite f est solution du problème posé si, et seulement si, f est solution de
l’équation différentielle
y ′ (t) = y(t)
Après résolution de cette équation différentielle linéaire d’ordre 1, on obtient la
solution générale
f(t) = λe t avec λ ∈ R
On obtient alors une primitive U de la fonction forme différentielle étudiée en
résolvant le système ⎧⎪
∂U
⎨
∂x
⎪⎩
(x, y) = λexy (xy − y 2 + 1)
∂U
∂y (x, y) = λexy (x 2 − xy − 1)
Au terme des calculs, on obtient
U(x, y) = λ(x − y)e xy + C
Exercice 25 : [énoncé]
I) Par intégration de développements limités (ce qui est plus efficace que des
dérivations successives)
⎧
⎪⎨ x(t) = 1
2 (t − 1)2 − 1
6 (t − 1)3 + o((t − 1) 3 )
⎪⎩
y(t) = 1
2 (t − 1)2 − 1
3 (t − 1)3 + o((t − 1) 3 )
On en déduit p = 2 et q = 3
Le point de paramètre t = 1 est donc un point de rebroussement de première
espèce de tangente dirigée par le vecteur i + j.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD