[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 58
La fonction ϕ étant continue par morceaux et intégrable sur R, on peut appliquer
du = √ π.
le théorème de convergence dominée et conclure sachant +∞
−∞ e−u2
Exercice 73 : [énoncé]
I) χA = X2 − 5X + 6 = (X − 2)(X − 3). Par division euclidienne
Xn = (X − 2)(X − 3)Q(X) + αnX + βn avec αn = 3n − 2n et βn = 3.2n − 2.3n donc An = αnA + βnI car χA(A) = 0.
II) fn est définie sur R⋆ et peut être prolongée par continuité en 0 en posant sur
fn(0) = n.
Pour x 0, fn(x) → +∞.
Pour x > 0, fn(x) → 0.
CS
Ainsi fn −−→ 0 sur R +⋆ .
Il ne peut y avoir converge uniformément sur R +⋆ car alors par le théorème de la
double limite :
lim lim
n→+∞ fn(x) = lim
n→+∞ lim fn(x)
+
x→0 +
donne 0 = +∞.
Pour a > 0, sur [a, +∞[,
x→0
|fn(x)| nx2 e −nx
1 − e −a2
et par étude fonctionnelle nx 2 e −nx 4
n e2 (maximum en x = 2/n) donc
fn ∞,[a,+∞[
qui donne la converge uniformément sur [a, +∞[.
4e2 n(1 − e−a2 → 0
)
Exercice 74 : [énoncé]
I) (ii) ⇔ (iii) en vertu du théorème d’inversibilité des matrices carrées.
u est orthogonal ⇔ ∀x, y ∈ E, (u(x) | u(y)) = (x | y).
Or (u(x) | u(y)) = (u ⋆ (u(x)) | y) donc u est orthogonal
⇔ ∀x, y ∈ E, (u ⋆ (u(x)) − x | y) = 0.
Or seul le vecteur nul est orthogonal à tout autre donc u est orthogonal
⇔ ∀x ∈ E, u ⋆ ◦ u(x) = x.
Or t AA est la matrice de u ⋆ ◦ u donc u est orthogonal si, et seulement si,
t AA = In.
II) a) f est évidemment dérivable en tout a ∈ R ⋆ et aussi dérivable en 0 avec
f ′ (0) = 0.
b) f admet pour développement limité à l’ordre n − 1 : f(x) = o(x n−1 ).
Si f admet un DLn(0) celui-ci serait de la forme f(x) = ax n + o(x n ) ce qui
entraîne que sin(1/x) admet une limite finie en 0 ce qui est notoirement faux.
Exercice 75 : [énoncé]
I) Solution générale y(x) = C √ x2 − 1 + 2(x2 − 1).
II) Pour x = ei la relation donne 1 = n
(ek | ei) 2 = 1 +
k=1
k=i
(ek | ei) 2 d’où
(ek | ei) = 0 pour k = i. La famille e est orthogonale.
Pour x ∈ Vect(e) ⊥ , x 2 = n
(ek | x) 2 = 0 donc x = 0 puis Vect(e) ⊥ = {0} et
donc Vect(e) = E.
k=1
Exercice 76 : [énoncé]
I) a) Si |z| < Ra alors anzn est absolument convergente or |anzn | ∼ |bnzn
| donc
bnzn est absolument convergente puis |z| Rb. Ainsi Ra Rb puis Ra
= Rb.
i b)
n n 2
(n2 +1)2n
∼ 1
2n donc R = 2.
II) a) Poser le produit par blocs.
b) Si A et B sont inversibles alors (A ⋆ B)(A−1 ⋆ B−1 ) = In ⋆ In = In2 donc A ⋆ B
est inversible.
Si A n’est pas inversible alors il existe A ′ = 0 tel que AA ′ = On et alors
(A ⋆ B)(A ′ ⋆ In) = 0 avec A ′ ⋆ In = 0 donc A ⋆ B n’est pas inversible.
Un raisonnement semblable s’applique dans le cas où B n’est pas inversible.
c) Il existe P, Q matrice inversible telles que
⎛
⎞
⎛
⎞
P −1 AP =
⎜
⎝
λ1
. ..
⋆
0 λn
⎟
⎠ et Q −1 ⎜
BQ = ⎝
µ1
. ..
⋆
0 µn
avec λi et µi les valeurs propres de A et B.
On observe alors que (P −1 ⋆ Q −1 )(A ⋆ B)(P ⋆ Q) = (P −1 AP ) ⋆ (Q −1 BQ) est
triangulaire supérieure de coefficients diagonaux λiµj. Les valeurs propres de
A ⋆ B sont les produits des valeurs propres de A et B.
d) On note que P −1 ⋆ Q −1 = (P ⋆ Q) −1 de sorte que A ⋆ B est semblable à la
matrice triangulaire précédente et donc
On en déduit
et la relation
χA⋆B = (−1) n2
est immédiate par un calcul direct.
n
i=1 j=1
n
(X − λiµj)
det(A ⋆ B) = (det A det B) n
tr(A ⋆ B) = tr(A)tr(B)
⎟
⎠
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