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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 55
Exercice 63 : [énoncé]
I) cf. cours.
II) a) 1 − 2λ cos x + λ 2 = (λ − cos x) 2 + sin 2 x > 0 pour tout x ∈ R car |λ| = 1. La
fonction fλ est définie sur R. Cette fonction est évidemment C ∞ , 2π-périodique et
impaire. Nous limitons son étude à [0, π].
Le cas λ = 0 est immédiat. On suppose dans la suite λ = 0.
f ′ λ (x) est du signe de λ2 cos(x) − λ(1 + cos 2 x) + cos x. Cette expression s’annule
pour cos x = λ ou cos x = 1/λ.
Pour |λ| < 1,
Pour |λ| > 1,
On a π
Pour |λ| < 1,
Pour |λ| > 1,
0
x 0 arccos λ π
f ′ λ (x)
fλ(x) 0
+
↗
0
1
−
↘ 0
x 0 arccos 1/λ π
f ′ λ (x)
fλ(x) 0
+
↗
0
1/λ
−
↘ 0
fλ(x)dx = 1
π 1 − 2λ cos x + λ2 =
λ
0
|1 + λ| − |1 − λ|
λ
π
0
π
0
fλ(x)dx = 2
fλ(x)dx = 2
|λ|
Exercice 64 : [énoncé]
I) a) Si ker f = Imf alors f 2 = 0 et donc f est nilpotent.
Si f est nilpotent alors ker f = {0} et donc dim ker f = 1 ou 2. Or f = 0 donc il
reste dim ker f = 1.
ker f ⊂ ker f 2 donc dim ker f 2 = 1 ou 2.
i dim ker f 2 = 1 alors ker f = ker f 2 et classiquement (cf. noyaux itérés)
ker f n = ker f pour tout n ∈ N ce qui contredit la nilpotence de f.
Il reste donc dim ker f 2 = 2 et donc f 2 = 0. Ainsi f est nilpotent.
b) Si f = u ◦ v avec u et v nilpotents et nécessairement non nuls alors Imf ⊂ Imu
et ker v ⊂ ker f. Or ces espaces sont de dimension 1 donc Imf = Imu et
ker f = ker v. Mais Imf = ker f donc Imu = ker v puis ker u = Imv d’où u ◦ v = 0.
C’est absurde.
II) a) L’intégrale de départ est bien défini, par le C 1 -difféomorphisme x = e t ,
+∞
0
or ch2t = 2ch 2 t − 1 = 1 + 2sh 2 t d’où
+∞
1 + x2 +∞
e
dx =
1 + x4 −∞
2t + 1
e4t + 1 et +∞
dt =
−∞
0
1 + x2 dx =
1 + x4 u=sht
+∞
−∞
du
1 + 2u 2 = π √ 2
b) Par le changement de variable x = 1/t, on montre que
+∞
donc +∞
0
+∞
dx
x
=
1 + x4 0
2dx 1 + x4 0
dx π
=
1 + x4 2 √ 2
cht
ch2t dt
Exercice 65 : [énoncé]
I) a) Si |z| < Ra alors anzn est absolument convergente or |anzn | ∼ |bnzn
| donc
bnzn est absolument convergente puis |z| Rb. Ainsi Ra Rb puis Ra
= Rb.
i b)
n n 2
(n2 +1)2n
∼ 1
2n donc R = 2.
II) Pour α = 0, la matrice est diagonalisable avec −3 valeur propre simple et −2
valeur propre double.
Exercice 66 : [énoncé]
I) a) La linéarité est immédiate et sans peine deg(φ(P )) n pour P ∈ Rn [X].
b) On a P (X) = n
φ(P )(X) = n
n
k=3
k=2
k=0
P (k) (a)
k! (X − a) k , P ′ (X) = n
P (k) (a)
(k−1)! (X − a)k − 2 n
k=1
(k − 2) P (k) (a)
k! (X − a) k − 2P ′ (a)(X − a).
k=1
P (k) (a)
k! (X − a) k =
P (k) (a)
(k−1)! (X − a)k−1 puis
P ∈ ker φ ⇔ P ′ (a) = 0 et ∀3 k n, P (k) (a) = 0. Ainsi ker φ = Vect(1, (X − a) 2 ).
P ∈ Imφ ⇔ P (a) = P ′′ (a) = 0. Imφ = (X − a) 3 Rn−3 [X] + Vect(X − a).
⎧
⎪⎨
0 = λP (a)
c) φ(P ) = λP ⇔ −2P
⎪⎩
′ (a) = λP ′ (a)
(k − 2)P (k) (a) = λP (k) .
(a) pour k ∈ {2, . . . , n}
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