[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 67
ce qui donne
1
I =
0
x
x 2
1
1
y − 1 dy dx =
0 2 x2 − 1
2 x4 − x + x 2 dx = − 1
10
II) Pour x 0, il y a divergence grossière.
Pour x > 0, n 2 e −x√ n = e −x √ n+2 ln n → 0 donc e −x √ n est absolument
convergente. Ainsi f est définie sur ]0, +∞[.
Pour a > 0, sur [a, +∞[, e−x√
n
e−a√n . Cela permet d’établir la convergence
normale de la série de fonctions sur [a, +∞[. Par convergence uniforme sur tout
segment d’une série de fonctions continues, on peut affirmer que f est continue
sur ]0, +∞[.
Par convergence uniforme sur [1, +∞[, on peut appliquer le théorème de la double
limite et affirmer
+∞
lim f = lim
+∞ x→+∞
n=0
e−x√ n
= 1
Par comparaison série intégrale,
+∞
e −x√ +∞
t
dt f(x) 1 +
avec +∞
On en déduit f(x) ∼ 2
x 2 quand x → 0 + .
0
0
0
e −x√ t dt = 2
x 2
e −x√ t dt
Exercice 100 : [énoncé]
I) Les racines du polynôme X 2 − 2 cos(nθ)X + 1 sont e inθ et e −inθ donc
X 2n − 2X n cos(nθ) + 1 = (X n − e inθ )(X n − e −inθ )
Les racines de X n − e inθ sont les e iθ+2ikπ/n avec k ∈ {0, . . . , n − 1} et celles de
X n − e −inθ s’en déduisent par conjugaison.
Ainsi
X 2n − 2X n cos(nθ) + 1 =
n−1
k=0
(X − e iθ+2ikπ/n n−1
)
k=0
dans C [X] puis en regroupant les facteurs conjugués entre eux
X 2n −2X n cos(nθ)+1 =
n−1
k=0
(X − e iθ+2ikπ/n )(X − e −iθ−2ikπ/n ) =
(X − e −iθ−i2kπ/n )
n−1
k=0
X 2
− 2X cos
Cette décomposition dans R [X] se comprend comme la décomposition en facteurs
irréductibles sauf s’il y a la présence d’un facteur
X 2
− 2X cos θ + 2kπ
+ 1 = X
n
2 − 1 = (X − 1)(X + 1)
II) a) n (−1)n →0 donc R 1 et n (−1)n = O(n) donc R 1. Ainsi R = 1.
b) Sur ]−1, 1[,
+∞
n=0
n (−1)n
x n +∞
=
p=1
p=1
2px 2p +∞
+
θ + 2kπ
On en déduit que le rayon de convergence des deux séries entières
+ 1
n
anxn
et
nanxn−1 vaut R = 1/ℓ (avec R = +∞ dans le cas ℓ = 0)
b) Puisqu’une série entière de rayon de convergence R > 0 converge uniformément
sur tout segment inclus dans ]−R, R[, on peut affirmer que la fonction
p=0
1
2p + 1 x2p+1
avec absolue convergence des séries engagées.
Puisque
+∞
py p−1 ′
1 1
= =
1 − y (1 − y) 2
on a
De plus
donc
Exercice 101 : [énoncé]
I) a) Pour x = 0, posons
+∞
n=0
+∞
p=0
+∞
p=1
2px 2p =
2x 2
(1 − x 2 ) 2
1
2p + 1 x2p+1 = argthx
n (−1)n
x n =
2x2 (1 − x2 + argthx
) 2
un = anx n et vn = nanx n−1
En notant ℓ la limite de la suite de terme général |an+1|/|an|, on obtient
un+1
vn+1
→ ℓ |x| et
→ ℓ |x|
un
vn
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