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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 88
On vérifie par le calcul que la fonction
ϕ : x ↦→
1
√ 1 − x 2
est solution de cette équation homogène et qu’elle ne s’annule pas.
Par la méthode de Lagrange, on cherche une deuxième solution indépendante de
la forme
ψ : x ↦→ λ(x)ϕ(x) avec λ fonction deux fois dérivable
On parvient à l’équation
λ ′′ (x) = x
1 − x 2 λ′ (x)
La fonction λ : x ↦→ arcsin x convient ce qui donne
ψ : x ↦→
arcsin x
√ 1 − x 2
Pour trouver une solution particulière de l’équation complète, on applique la
méthode de variation des constantes et on cherche cette solution de la forme
avec λ, µ fonctions dérivables vérifiant
On parvient au système
⎧
⎨
Après résolution
et donc
⎩
y(x) = λ(x)ϕ(x) + µ(x)ψ(x)
λ ′ (x)ϕ(x) + µ ′ (x)ψ(x) = 0
λ ′ (x)ϕ(x) + µ ′ (x)ψ(x) = 0
λ ′ (x)ϕ ′ (x) + µ ′ (x)ψ ′ (x) =
x
(1 − x 2 ) 3/2
λ(x) = − 1 − x 2 et µ(x) = 1 − x 2 arcsin x − x conviennent
est solution particulière.
Finalement la solution générale est
x
y(x) = −√
1 − x2 y(x) =
λ + µ arcsin x − x
√ 1 − x 2
Exercice 147 : [énoncé]
I) a) F = Vect(I, K) avec K =
de M2(R).
0
−1
1
donc F est un sous-espace vectoriel
0
b) Puisque dim F = 2, dim F ⊥ = 4 − 2 = 2.
Les matrices
A = 1
1
√
2 0
0
−1
et B = 1
0
√
2 1
1
0
sont deux éléments unitaires, orthogonaux entre eux et orthogonaux à I et K.
On peut alors affirmer que la famille (A, B) est une base de F ⊥ .
c) On peut écrire
J = I + √ 2B
et donc le projeté orthogonal de J est √ 2B.
II) Par le changement de variable t = x n , on a formellement
Posons pour n 1
+∞
n e −xn
+∞
e
dx =
−t
t t1/n dt
1
1
fn : t ↦→ e−t
t t1/n
Les fonctions fn sont définies et continues par morceaux sur [1, +∞[.
La suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction
et pour tout n ∈ N
f : t ↦→ e−t
t
|fn(t)| e −t = ϕ(t)
avec ϕ fonction continue par morceaux et intégrable puisque t 2 ϕ(t) −−−−→
t→+∞ 0.
On peut alors appliquer le théorème de convergence dominée et affirmer que les
intégrales étudiées existent et
Exercice 148 : [énoncé]
I) a) cf.cours.
+∞
n e −xn
+∞
e
dx =
−t
t t1/n +∞
e
dt −−−−−→
n→+∞
−t
t dt
1
1
1
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