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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 79
Exercice 124 : [énoncé]
I) a) La fonction f est de classe C 1 par morceaux et régularisée donc par le
théorème de Dirichlet, sa série de Fourier converge simplement vers f.
b) La fonction f est impaire donc an = 0 et
bn = 2
π
La série de Fourier de f est
π
0
n1
n+1 2
t sin(nt) dt = (−1)
n
n+1 2
(−1)
n sin(nt)
II) a)ker h ⊂ ker f donc dim ker h dim ker f.
En appliquant la formule du rang à f et à h on obtient
On en déduit
dim ker f = n − rgf et dim ker h = rgg − rgh
rgf + rgg − n rgh
Or Im(f ◦ g) = Imh donc rg(f ◦ g) = rgh et on peut conclure.
b) Un endomorphisme f vérifie f 2 = 0 si, et seulement si, Imf ⊂ ker f ce qui
entraîne, en dimension 3, rgf = 1.
Si l’endomorphisme f n’est pas nul, en choisissant x ∈ E tel que x /∈ ker f et en
complétant le vecteur f(x) ∈ ker f, en une base (f(x), y) de ker f, on obtient que
la matrice de f dans la base (x, f(x), y) est
⎛
⎝
0 0 0
1 0 0
0 0 0
Inversement, un endomorphisme f représenté par une telle matrice vérifie f 2 = 0.
Exercice 125 : [énoncé]
I) La dernière équivalence provient du théorème d’inversibilité des matrices
carrées.
u est orthogonal ⇔ ∀x, y ∈ E, (u(x) | u(y)) = (x | y).
Or (u(x) | u(y)) = (u ⋆ (u(x)) | y) donc u est orthogonal
⇔ ∀x, y ∈ E, (u ⋆ (u(x)) − x | y) = 0.
Or seul le vecteur nul est orthogonal à tout autre donc u est orthogonal
⇔ ∀x ∈ E, u ⋆ ◦ u(x) = x.
⎞
⎠
Or tP P est la matrice de u⋆ ◦ u donc u est orthogonal si, et seulement si,
tP P = In.
II) a) f admet une limite en +∞ car elle est décroissante. Cette limite ne peut
être infinie ou finie non nulle donc f tend vers 0 en +∞ et puisqu’elle est
décroissante elle est positive.
b) f étant décroissante, hf((n + 1)h) (n+1)h
f(t)dt hf(nh). Il suffit de
nh
sommer pour n ∈ {0, . . . , N − 1}.
c) N
f(nh)
n=1
1
Nh
h f(x)dx 0
1
+∞
h f(x)dx et f(nh) 0 donc 0
f(nh)
converge.
En passant à la limite quand N → +∞ l’encadrement du b) :
h +∞
f(nh)
n=1
+∞
f(x)dx h 0
+∞
f(nh)
n=0
donc +∞
f(x)dx h 0
+∞
f(nh)
n=0
+∞
f(x)dx + hf(0).
0
A la limite quand h → 0 : h +∞
f(nh) → +∞
f(x)dx.
0
n=0
Exercice 126 : [énoncé]
I) On évalue +∞
(n2 + 3n + 1)xn = x2−2x−1 (x−1) 3
n=0
II) C’est une cardioïde.
en x = 1
2 . On obtient 14.
Exercice 127 : [énoncé]
I) a) Posons n = dim E, p = dim A.
Soit (e1, . . . , ep) une base orthonormale de A que l’on complète en (e1, . . . , en)
base orthonormale de E.
x ∈ A ⊥ ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , p} , (ei | x) = 0
donc A ⊥ = Vect(ep+1, . . . , en) puis E = A ⊕ A ⊥ .
b) On a dim A ⊥ = n − dim A et donc dim A ⊥⊥ = dim A.
II) a) On parvient à
y(t) =
de rayon de convergence R = +∞.
En d’autres termes
y(t) =
+∞
p=0
t 2p
(2p + 2)!
ch(t) − 1
t 2
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