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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 57
b) Si y est 2π-périodique alors y(0) = y(2π).
Inversement, si y(0) = y(2π) alors z : x ↦→ y(x + 2π) est solution de l’équation
différentielle et vérifie z(0) = y(0) donc z = y.
Par suite y est 2π-périodique si, et seulement si, y(0) = y(2π) i.e.
y(0)(e 2πα 2π
− 1) = f(t)e αt dt
avec e 2πα − 1 = 0.
c) Par suite, il existe une unique solution φ 2π-périodique à l’équation
différentielle, solution déterminée par
φ(0) =
1
e 2πα − 1
0
2π
f(t)e αt dt
(avec e 2πα = 1 car α /∈ iZ).
d) Cette solution est de classe C 1 donc développable en série de Fourier.
avec
et
donc
φ(x) =
+∞
0
n=−∞
cne inx
cn = cn(φ) = 1
α cn(f − φ ′ ) = 1
α (cn(f) − cn(φ ′ ))
cn(φ ′ ) = incn(φ)
cn = cn(f)
in + α
Exercice 70 : [énoncé]
I) (ii) ⇔ (iii) en vertu du théorème d’inversibilité des matrices carrées.
u est orthogonal ⇔ ∀x, y ∈ E, (u(x) | u(y)) = (x | y).
Or (u(x) | u(y)) = (u ⋆ (u(x)) | y) donc u est orthogonal
⇔ ∀x, y ∈ E, (u ⋆ (u(x)) − x | y) = 0.
Or seul le vecteur nul est orthogonal à tout autre donc u est orthogonal
⇔ ∀x ∈ E, u ⋆ ◦ u(x) = x.
Or t AA est la matrice de u ⋆ ◦ u donc u est orthogonal si, et seulement si,
t AA = In.
II)
un = (−1)n
1 1
− + o
nα 2n2α n2α
= vn + wn
avec
vn = (−1)n
nα et wn = − 1
1
+ o
2n2α n2α
vn converge en vertu du critère spécial des séries alternées et wn converge si,
et seulement si, 2α > 1 par équivalence de termes généraux de séries de signe
constant. Au final, un converge si, et seulement si, α > 1/2.
Exercice 71 : [énoncé]
I) a) X p est annulateur de A donc les valeurs propres de A en sont racines. Seul 0
est valeur propre de A.
b) Une matrice symétrique réelle nilpotente est semblable à une matrice diagonale
de diagonale nulle, on peut donc affirmer qu’elle est nulle.
II) a)
et
un+1
un
= 3n + 1
vn+1
vn
donc pour n assez grand,
3(n + 1)
b) La suite de terme général un
vn
2 1
= 1 −
3 n + 1
2 1
= 1 − + o
3n n
1
3 1
=
= 1 − + o
3/4
(1 + 1/n) 4n n
un+1
un
vn+1
vn
est positive et croissante à partir d’un certain
rang donc il existe α > 0 et N ∈ N tel que pour tout n N, un αvn. Or vn
diverge donc un aussi.
Exercice 72 : [énoncé]
I) Classiquement une lemniscate de Bernoulli.
II)
R fn(x)g(x)dx = b
a fn(x)g(x)dx est bien définie.
Par le changement de variable x = u/n (C1-difféomorphisme)
R fn(x)g(x)dx =
nb
√1 1 − na π
u2
2n4 4
2n
1 − u2
2n4 4
2n
g(u/n)χ [na,nb].
hn(u) = 1
√ π
CS
g(u/n)du = +∞
−∞ hn(u)du avec
hn est continue par morceaux, hn −−→ h avec h(u) = 1 √ e π −u2g(0).
Pour
n assez grand de sorte que |a/n| , |b/n| 1 on a pour tout u ∈ [na, nb],
2 4 u /2n 1/2 < 1,
|hn(u)| = 1 √ e π 2n4 ln(1−u 2 /2n 4 ) 1 √π e−u2 = ϕ(u) et cette inégalité vaut aussi pour
u /∈ [na, nb].
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