[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 47
Par suite l’intégrale définissant G(x, y) existe bien.
b) Quand t → +∞,
f(t) = O(1)
1
= O
t(t + x) t2
donc f est intégrable sur ]0, +∞[.
Par suite G(x, y) converge quand y → +∞ vers
c) On remarque que
et on en déduit
+∞
t − [t]
G(x) =
t(t + x) dt
0
1 1 1 1
= −
t(t + n) n t t + n
G(n, y) = 1
y
t − [t] t − [t]
−
n 0 t t + n dt
Par linéarité de l’intégrale et changement de variable, on obtient
Enfin par la relation de Chasles
d) Puisque
G(n, y) = 1
y
y+n
t − [t]
t − [t]
dt −
dt
n 0 t
n t
G(n, y) = 1
n
y+n
t − [t]
t − [t]
dt −
dt
n 0 t
y t
0
y+n
on obtient quand y → +∞
et on a alors
Par suite
y
t − [t]
t
H(n) − H(n − 1) =
dt 1
y
y+n
G(n) = 1
n
t − [t]
dt
n 0 t
H(n) =
n
n−1
n
0
t − [t]
t
y
t − [t]
t
t − [t] dt n
y
dt
1
u
dt =
u + (n − 1) du
0
puis
H(n) − H(n − 1) = 1 − (n − 1) ln 1 + 1
n − 1
Par développement limité, on obtient
H(n) − H(n − 1) =
1
+ O
2(n − 1)
1
n2
= 1
1
+ O
2n n2
On en déduit que la série de terme général
H(n) − H(n − 1) − 1
1
= O
2n n2
Posons
On a
donc
Sachant
on obtient
puis
n
k=1
S =
+∞
n=2
H(n) − H(n − 1) − 1
2n
H(k) − H(k − 1) − 1
= S + o(1)
2k
H(n) − H(1) − 1
2
n
k=1
n
k=2
1
= S + o(1)
k
1
= ln n + γ + o(1)
k
H(n) ∼ 1
ln n
2
G(n) ∼
Exercice 39 : [énoncé]
I) a) On observe que E = Vect(I2, J) avec I2 = M(1, 0) et J = M(0, 1). Les
matrices I2 et J étant indépendantes, E est un sous-espace vectoriel de dimension
2.
De plus E est aussi un sous-anneau en vérifiant l’appartenance de I2 la stabilité
par différence et produit (car J 2 = −I2)
ln n
2n
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