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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 10 Exercice 54 [ 02499 ] [correction] I) Rayon de convergence et somme de f(x) = +∞ n=0 1 0 2ntn (1 − t) n dt xn . II) Soit E un espace vectoriel de dimension 3, f ∈ L(E) tel que f 4 = f 2 et admet 1 et −1 pour valeurs propres. Montrer que f est diagonalisable. Exercice 55 [ 02500 ] [correction] I) Soit k > 0 et f(x) = 1 0 tk sin(xt)dt. a) Montrer que f est continue sur R. b) Montrer que f est dérivable sur R et vérifie ∀x ∈ R, xf ′ (x) + (k + 1)f(x) = sin x. c) Déterminer toutes les fonctions développables en série entière en 0 solutions de xy ′ + (k + 1)y = sin x en précisant le rayon de convergence. II) On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O; 1, i) et on considère l’application ϕ qui au point M d’affixe z associe la point M ′ d’affixez ′ = z2 + 1. Soit U le cercle unité, déterminer ϕ(U), ϕ2 (U), ϕ−1 (U). Exercice 56 [ 02501 ] [correction] I) Calculer ∆ (x3 − 2y)dxdy avec ∆ = (x, y) ∈ R2 /x 0, y 0, x2 a2 + y2 b2 1 . On pourra utiliser le changement de variable x = au cos θ et y = bu sin θ. II) Soit E un K-espace vectoriel, u ∈ L(E) et P ∈ K [X] ayant 0 comme racine simple et tel que P (u) = 0. Montrer que ker u2 = ker u et E = ker u ⊕ Imu. Exercice 57 [ 02502 ] [correction] I) Soit f 2π-périodique donnée par f(x) = e x pour x ∈ ]−π, π[ et f(π) = chπ. a) Montrer que la série de Fourier de f converge vers f. b) Calculer les coefficients de Fourier de f. c) Calculer +∞ n=0 1 n 2 +1 . II) Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E), v ∈ L(E) diagonalisables vérifiant u 3 = v 3 . Montrer que u = v. Exercice 58 [ 02503 ] [correction] I) Soient n ∈ N, fn(x) = x2n+1 ln(x) x 2 − 1 1 et In = fn(x)dx 0 a) Montrer que fn est intégrable sur ]0, 1[. b) Calculer la limite de (In) pour n → +∞. c) Montrer que In = 1 4 +∞ k=n+1 d) Soit hn(x) = x 2n+1 ln(x) ; étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions hn(x) sur ]0, 1[. II) Existe-t-il A ∈ Mn(R) symétrique telle que A p = 0 et A p−1 soit non nulle pour p ∈ N ⋆ . Exercice 59 [ 02504 ] [correction] I) Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie E. a) Montrer que |rg(u) − rg(v)| rg(u + v) rg(u) + rg(v). b) Trouver u et v dans L(R 2 ) tel que rg(u + v) < rg(u) + rg(v). c) Trouver deux endomorphismes u et v de R 2 tel que rg(u + v) = rg(u) + rg(v). II) Résoudre l’équation différentielle y ′′ + y = cos 3 x à l’aide de la méthode de la variation de la constante. Exercice 60 [ 02505 ] [correction] I) Soit anzn une série entière de rayon de convergence R > 0. a) Soit r un réel tel que 0 < r < R. Montrer que la série anzn converge uniformément sur D(0, r). b) Montrer que l’application z ↦→ +∞ anzn est continue sur le disque ouvert n=0 D(0, R). II) Soit (a, b) ∈ R2 , n ∈ N⋆ x (x − b) · · · (x − b) . et Dn(x) = (x − a) .. . .. . . . .. . . .. (x − b) (x − a) · · · (x − a) x a) Montrer que Dn(x) est un polynôme en x de degré 1. b) En déduire l’expression de Dn(x) en fonction de x, a, b et n. Exercice 61 [ 02506 ] [correction] 1 k 2 I) Etudier au voisinage de t = 1 la courbe paramétrée ⎧ t u ⎪⎨ x(t) = 2 − 1 u2 + 1 du ⎪⎩ y(t) = 1 t 1 u 2 − 1 u 3 + 1 du Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 11 II) Soit a ∈ ]−1, 1[. On pose f(x) = +∞ n=0 sin(a n x) a) Montrer que f est définie sur R. b) Montrer que f est de classe C ∞ et que pour tout k ∈ N et tout x ∈ R, f (k) (x) 1 1 − |a| c) Montrer que f est développable en série entière. Exercice 62 [ 02507 ] [correction] I) On pose pour tout x ∈ [0, 1], fn(x) = 1−x2n+2 1+x . En appliquant à (fn) le théorème de convergence dominée, montrer que ln 2 = +∞ k=0 (−1) k k+1 . II) On munit E = Mn(R) du produit scalaire (X | Y ) = tr(( t X)Y ). Soit A ∈ E et ϕA l’endomorphisme de E défini par ϕA(X) = A( t X)A. Montrer que ϕA est diagonalisable. Exercice 63 [ 02508 ] [correction] I) Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie, λ une valeur propre de f. Soit P un polynôme annulateur de f ; montrer que P (λ) = 0. II) a) Etude de la fonction avec |λ| = 1. b) Calculer fλ(x) = sin x √ 1 − 2λ cos x + λ 2 π 0 fλ(x) dx Exercice 64 [ 02509 ] [correction] I) Soit E un plan vectoriel. a) Montrer que f endomorphisme non nul est nilpotent si, et seulement si, ker f = Imf. b) En déduire qu’un tel endomorphisme ne peut s’écrire sous la forme f = u ◦ v avec u et v nilpotents. II) a) Calculer +∞ 0 1 + x2 dx 1 + x4 en effectuant notamment le changement de variable x = et . b) En déduire la valeur de +∞ dx 1 + x4 0 Exercice 65 [ 02510 ] [correction] I) a) Montrer que si |an| ∼ |bn|, anz n et bnz n ont le même rayon de convergence. b) Donner le rayon de convergence de i n n 2 z n (n 2 + 1)2 n II) Existe-t-il une valeur de α pour laquelle ⎛ −5 + α 3 − α α ⎞ ⎝ −2 + α −α α ⎠ −5 5 −2 est diagonalisable ? Exercice 66 [ 02511 ] [correction] I) Soit a ∈ R et n 2. a) Montrer que φ(P )(X) = (X − a) (P ′ (X) − P ′ (a)) − 2(P (X) − P (a)) définit un endomorphisme de Rn [X]. b) A l’aide de la formule de Taylor, déterminer l’image et le noyau de φ. c) Trouver ses éléments propres. L’endomorphisme est-il diagonalisable ? II) Résoudre l’équation différentielle y ′′ + y ′ + y = x 2 + e x . Exercice 67 [ 02512 ] [correction] I) a) Soit h positive et continue sur [a, b]. Montrer que b a h(x)dx = 0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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