[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 82
De même on montre que si un ∼ vn et que un converge alors vn converge.
b) On a
(1 − i) sin
1
n
√
n − 1 ∼
√
2
n3/2 or 1
n3/2 converge car 3/2 > 1.
Par comparaison de séries à termes positifs , (1 − i) sin 1
n2 √
( n − 1) est
absolument convergente donc convergente.
II) a) On vérifie par le biais des relations proposées
On en déduit
M 2 − (λ + µ)M + λµIp = Op
M
λ + µ
λµ Ip − 1
λµ M
= Ip
Par le théorème d’inversibilité, M est inversible et
M −1 =
λ + µ
λµ Ip − 1
λµ M
b) M − µIp = (λ − µ)A et M − λIp = (µ − λ)B.
Or (M − µIp)(M − λIp) = M 2 − (λ + µ)M + λµIp = Op donc (λ − µ) 2 AB = Op
puis AB = Op car λ = µ.
Puisque A = A × Ip = A 2 + AB = A 2 , A est un projecteur.
Il en est de même pour B.
c) M annule le polynôme scindé simple X 2 − (λ + µ)X + λµ = (X − λ)(X − µ).
La matrice M est donc diagonalisable et Sp(M) ⊂ {λ, µ}.
Il se peut que cette inclusion soit stricte par exemple en prenant M = λIp, A = Ip
et B = Op.
En tout cas, le spectre n’est pas vide car M est diagonalisable.
Exercice 136 : [énoncé]
I) a) Soient x, y ∈ E. On a
et d’autre part
On en déduit
u(x + y) 2 = x + y 2 = x 2 + 2(x | y) + y 2
u(x + y) 2 = u(x) + u(y) 2 = u(x) 2 + 2(u(x) | u(y)) + u(y) 2
(u(x) | u(y)) = (x | y)
Si x ∈ ker u alors
0 = u(x) 2 = x 2
donc ker u = {0E}.
Puisque E est de dimension finie, on peut conclure que u est bijectif.
b) Montrons que l’ensemble O(E) des endomorphismes étudiés est un sous-groupe
de (GL(E), ◦).
On a O(E) ⊂ GL(E) en vertu de ce qui précède.
On a aussi évidemment IdE ∈ O(E).
Soient u, v ∈ O(E). Pour tout x ∈ E,
u ◦ v −1 (x) = u(v −1 (x)) = v −1 (x) car u ∈ O(E)
et v −1 (x) = v(v −1 (x)) = x car v ∈ O(E)
Donc u ◦ v −1 ∈ O(E).
II) a) R = 1.
b) Pour x ∈ ]−1, 1[, on a
(1 + x)S(x) =
+∞
(−1) n ln(n)x n +∞
+ (−1) n ln(n)x n+1
n=2
n=2
Après décalage d’indice et réunion des deux sommes
(1 + x)S(x) =
+∞
n=1
(−1) n+1 (ln(n + 1) − ln(n)) x n+1
ce qui conduit à la relation demandée.
c) Posons
gn(x) = (−1) n+1
ln 1 + 1
x
n
n+1
ce qui définit gn : [0, 1] → R continue.
A
l’aide du critère spécial des séries alternées, on montre que la série de fonctions
gn converge uniformément sur [0, 1] ce qui assure que sa somme est continue.
On en déduit par opérations sur les limites
lim
x→1− S(x) = 1
+∞
(−1)
2
n+1
ln 1 + 1
n
n=1
d) En regroupant les termes d’indices impairs et pairs consécutifs
2n
k=1
(−1) k+1
ln 1 + 1
=
k
n
k=1
ln 1 + 1
− ln 1 +
2k − 1
1
2k
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