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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 25
Exercice 139 [ 03187 ] [correction]
I) Soit E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E.
a) Démontrez que
E = A ⊕ A ⊥
(indice : on admettra que toute famille orthonormale de E peut être complétée en
une base orthonormale de E.)
b) Démontrez que
A ⊥ ⊥ = A
II) Soit f une fonction réelle de classe C1 positive et décroissante sur I = [a, b].
Soit g une fonction continue sur I. On définit G : I → R par la relation
G(x) =
a) Montrer qu’il existe m, M ∈ R tels que
b) Montrer que
b
a
x
a
g(t) dt
G ([a, b]) = [m, M]
f(t)g(t) dt = f(b)G(b) −
c) En déduire qu’il existe c ∈ [a, b] tel que
b
d) Application : déterminer
a
f(t)g(t) dt = f(a)
lim
x→+∞
1
x2 1
1/x
b
a
c
a
sin t
dt
t2 f ′ (t)G(t) dt
g(t) dt
Exercice 140 [ 03191 ] [correction]
I) Soit h une fonction continue et positive de [a, b] dans R.
a) Démontrez que :
b
a
h(x) dx = 0 ⇒ h = 0
b) Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continue de [a, b] dans R. On pose
pour tout f et tout g de E
(f | g) =
b
a
f(x)g(x) dx
Démontrez que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E.
c) Majorez
1 √ −x
xe dx
en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
II) Soient α ∈ R\Z et f : R → R la fonction 2π périodique définie par
0
f(t) = cos(αt) sur ]−π, π]
a) Montrer que f admet une série de Fourier convergente sur R.
Quel type de convergence est-ce ?
b) Expliciter les coefficients de Fourier de f.
c) Pour tout x /∈ πZ, montrer l’égalité
cotanx = 1
x +
Exercice 141 [ 03192 ] [correction]
∞
n=1
2x
x 2 − (nπ) 2
I) Ces fonctions sont-elles intégrables ?
sin x2
a) x ↦→ ln x x2 sur ]0, +∞[
b) x ↦→ x
x−2e−x sur ]2, +∞[
II) On considère l’espace vectoriel Rn muni de son produit scalaire usuel noté
〈. | .〉. Soit f un endomorphisme symétrique de Rn dont toutes les valeurs propres
sont strictement positives.
a) Montrer que
∀x ∈ R n \ {0} , 〈f(x) | x〉 > 0
b) Soit u un vecteur de R n et g : R n → R l’application définie par
g(x) = 1
〈f(x) | x〉 − 〈u | x〉
2
Montrer que g admet des dérivées partielles selon tout vecteur de R n et les
expliciter.
c) Montrer que g admet un unique point critique noté z.
d) Montrer que g admet un minimum global en z.
Exercice 142 [ 03193 ] [correction]
I) Soient F(R, R) l’espace vectoriel des applications de R dans R, E le sous-espace
vectoriel engendré par les cinq applications :
f1 : x ↦→ 1/ √ 2, f2 : x ↦→ cos x, f3 : x ↦→ sin x, f4 : x ↦→ cos(2x) et f5 : x ↦→ sin(2x)
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