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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 83
et donc
2n
(−1) k+1
ln 1 + 1
n
⎛
2k 2k
= ln
= ln ⎝
k
2k − 1 2k + 1
1
n
⎞
2
2k
⎠
2n + 1 2k − 1
k=1
k=1
Enfin par la formule du Wallis, on obtient
1 π
lim S(x) = ln
x→1− 2 2
Exercice 137 : [énoncé]
I) a) Soit un une série absolument convergente de l’espace normé et (Sn) la
suite de ses sommes partielles.
La série numérique un converge, notons (Tn) la suite de ses sommes
partielles.
On a
n
n
Sn = uk et Tn = uk
donc
k=0
k=0
Sn+p − Sn |Tn+p − Tn|
Puisque la suite (Tn) converge, elle vérifie le critère de Cauchy et donc
et alors
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n N, ∀p ∈ N, |Tn+p − Tn| ε
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n N, ∀p ∈ N, Sn+p − Sn ε
La suite (Sn) est donc de Cauchy et l’espace normé étant supposé complet, celle-ci
converge.
b) N’importe quel R-espace vectoriel ou C-espace vectoriel de dimension finie est
complet.
II) a) (A | B) = tr (A t B) définit le produit scalaire canonique sur Mn(R),
(A | B) =
b) Pour A ∈ Sn(R) et B ∈ An(R), on a
n
i,j=1
ai,jbi,j
(A | B) = tr(A t B) = −tr(AB) et (A | B) = (B | A) = tr( t AB) = tr(AB)
On en déduit (A | B) = 0.
k=1
Les espaces Sn(R) et An(R) et donc en somme directe.
Puisqu’on peut écrire pour tout M ∈ Mn(R),
M = 1 t 1 t
M + M + M − M
2
2
avec 1
2 (M + tM) ∈ Sn(R) et 1
2 (M − tM) ∈ An(R), les espaces Sn(R) et An(R)
sont supplémentaires orthogonaux.
La distance de M à S3(R) est égale à la distance de M à son projeté orthogonal
sur S3(R) i.e.
d(M, S3(R)) = 1
M −
2
t M = 2
c) H est le noyau de la forme linéaire non nulle trace, c’est donc un hyperplan de
Mn(R).
La matrice In est orthogonale à tout élément de H et c’est donc un vecteur
normal à l’hyperplan H.
On en déduit
d(H, J) = |(In | J)|
In
= n
√ n = √ n
Exercice 138 : [énoncé]
I) C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 définie sur ]1, +∞[.
La solution générale est
y(x) = C x 2 − 1 + 2(x 2 − 1) avec C ∈ R
II) a) Les endomorphismes λIdE ont la propriété voulue.
b) Les familles (e1, . . . , en) et (e1 + ei, e2, . . . , en) engendrent le même espace
vectoriel. Etant toutes deux formées de n vecteurs, si l’une est libre, l’autre aussi.
c) Soit u un endomorphisme de E dont la matrice est diagonale dans toutes les
bases de E.
La matrice de u dans la base (e1, . . . , en) est de la forme diag(λ1, λ2, . . . , λn).
Puisque la matrice de u dans la base (e1 + ei, e2, . . . , en) est aussi diagonale, il
existe α ∈ R tel que
u(e1 + ei) = α(e1 + ei)
Or par linéarité
u(e1 + ei) = u(e1) + u(ei) = λ1e1 + λiei
Par liberté de la famille (e1, ei) on identifie les scalaires et on peut affirmer
λ1 = α = λi
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