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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 15
Exercice 85 [ 02544 ] [correction]
|an+1|
I) Soit (an)n∈N une suite complexe telle que la suite |an| admet une limite
n∈N
finie.
a) Démontrez que les séries entières anxn et nanxn−1 ont le même rayon de
convergence.
On le note R.
b) Démontrez que la fonction x ↦→ +∞
anxn est dérivable sur l’intervalle ]−R, R[.
n=0
II) On note E l’espace vectoriel R2 [X] et e = (e1, e2, e3) la base duale de la base
canonique de E. On note v et w les éléments de E ⋆ définis par
1
v(P ) = P (1) et w(P ) = P (t)dt
a) Montrer que e ′ = (e1, v, w) est une base de E ⋆ .
b) Donner la matrice de passage de e à e ′ .
c) Donner la base antéduale de e ′ .
Exercice 86 [ 02545 ] [correction]
I) a) On considère deux suites réelles (un) et (vn) telles que un ∼ vn.
Démontrez que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang.
b) Déterminer le signe au voisinage de l’infini de
un = sh
1
n
− tan
II) Allure de la courbe d’équation cartésienne
0
1
n
y 2 − (3x 2 + 2x + 1) = 0
Lieu des points M d’affixe z tels que les points d’affixes z, z 2 et z 5 soit alignés ?
Exercice 87 [ 02546 ] [correction]
Soit la matrice
⎛
M = ⎝
où a, b, c sont des réels.
a) M est-elle diagonalisable dans M3(R) ?
b) M est-elle diagonalisable dans M3(C) ?
0 a c
b 0 c
b −a 0
⎞
⎠
II) Soit C(R) le quart de disque x 0, y 0, x2 + y2 R2 , R > 0.
Montrer que
R
e −t2
2 dt
est compris entre
C(R)
e −x2−y 2
dx dy et
0
C(R √ 2)
Calculer
e
C(R)
−x2−y 2
dx dy
En déduire la valeur de
+∞
e −t2
dt
Exercice 88 [ 02547 ] [correction]
I) Soit f la fonction 2π-périodique sur R définie ainsi :
0
e −x2−y 2
dx dy
f(x) = x sur ]−π, π[ et f(−π) = 0
a) La série de Fourier de f converge-t-elle vers f(x) en tout x de R ?
b) Déterminer la série de Fourier de f.
II) Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n > 1.
Montrer que f ∈ L(E) de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.
Montrer que f ∈ L(E) de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base de L(E) constituée de projecteurs.
Exercice 89 [ 02548 ] [correction]
I) a) Démontrez que siA et B sont deux matrices carrées d’ordre alors AB et BA
ont même trace.
b) Déduisez-en qu’en dimension finie toutes les matrices d’un même
endomorphisme ont même trace.
c) Démontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k ∈ N, A k et B k ont
même trace.
II) Extremum locaux et globaux de f(x, y) = y(x 2 + (ln y) 2 ) sur R × ]0, +∞[.
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