[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 75
I = 1
1 1−x
1 − (x + y)
3 x=0 y=0
3
dy dx = 1
1 1
−
3 2 4
II) La forme quadratique associée a pour matrice
2 3/2
3/2 2
de valeurs propres 7
2
et 1
2 .
u = 1 √ 2 (i + j) et v = 1 √ 2 (−i + j) sont vecteurs propres associés aux valeurs
propres 7
2
et 1
2 .
Puisque 0 n’est pas valeur propre, la conique est non dégénérée et son centre Ω est
de coordonnées x et y solutions du système
4x + 3y − 4 = 0
3x + 4y − 3 = 0
Le centre Ω est donc le point de coordonnées x = 1 et y = 0 dans le repère initiale.
Dans le repère orthonormée (Ω; u, v) la conique étudiée a pour équation réduite
1
7
2 x2 + 1
2 y2 = 2 i.e. x2
a 2 + y2
b 2 = 1 avec a = 2 √ 7 et b = 2.
La conique est une ellipse d’axe focal (Ω; v) (puisque b > a).
Exercice 118 : [énoncé]
I) un = arctan n3 − arctan n2 .
Or pour x > 0, arctan x + arctan 1 π
x = 2 donc
un = arctan 1
n2 − arctan 1
n3 = 1
n2 + o 1
n2
1 ∼ n2 .
II) Le déterminant de ce système carré est (a − 1) 3 (a + 3).
Cas a = 1 :
Le système est compatible si, et seulement si, b = 1 et ses solutions sont les
quadruplets (x, y, z, t) vérifiant x + y + z + t = 1.
Cas a = −3 :
En sommant les quatre équations, on obtient l’équation de compatibilité
0 = 1 + b + b2 + b3 .
Si b /∈ {i, −1, −i} alors le système est incompatible.
Si b ∈ {i, −1, −i} alors le système équivaut à
⎧
⎪⎨
x − 3y + z + t = b
x + y − 3z + t = b
⎪⎩
2
x + y + z − 3t = b 3
⎧
⎪⎨
x − 3y + z + t = b
, 4y − 4z = b
⎪⎩
2 − b
4y − 4t = b 3 ⎧
x = y +
⎪⎨
,
− b ⎪⎩
1 1
b +
2 4 b2 + 1
4 b3
z = y + 1
4 (b − b2 )
t = y + 1
4 (b − b3 )
0
1 − x 4
dx = 1
1 1 1
− + =
3 2 4 20
1 ce qui permet d’exprimer la droite des solutions.
Cas10 a /∈ {1, −3} :
C’est un système de Cramer. . .
Sa solution est
x = 2+a−b−b2 −b 3
2a−3+a 2
, y = ab−1+2b−b2 −b 3
2a−3+a 2
, z = ab2 −1−b+2b 2 −b 3
2a−3+a 2
Exercice 119 : [énoncé]
I) a) Supposons un ∼ vn et supposons la série vn convergente
A partir d’un certain rang N0, un 2vn et alors
N
k=1
uk
N0−1
k=1
uk + 2
N
k=N0
vk 2
+∞
k=1
, t = ab3−1−b−b 2 +2b 3
2a−3+a2 .
vk + C te
car les termes de la série vn sont positifs.
Puisque un est une série à termes positifs aux sommes partielles majorées, elle
converge.
De même on montre que si un ∼ vn et que un converge alors vn converge.
b) On a
(1 − i) sin
1
n
√
n − 1 ∼
√
2
n3/2 or 1
n3/2 converge car 3/2 > 1.
Par comparaison de séries à termes positifs , (1 − i) sin 1
n2 √
( n − 1) est
absolument convergente donc convergente.
II) Si a = b alors (X − a) 2 divise (X3 − a) 2 si, et seulement si, a est racine au
moins double de (X3 − a) 2 . Ceci équivaut à a3 = a ce qui donne a ∈ {−1, 0, 1}.
Les polynômes solutions correspondant sont alors X2 , (X − 1) 2 et (X + 1) 2 , tous
réels.
Si a = b alors (X − a)(X − b) divise (X3 − a)(X3 − b) si, et seulement si, a et et b
sont racines de (X3 − a)(X3 − b).
Si a3 = b3 alors a et b sont racines (X3 − a)(X3
3
a = a
− b) si, et seulement si,
b 3 = b
ou
a 3 = b
b 3 = a .
Dans le premier cas, sachant a = b, on parvient aux polynômes
X(X − 1), X(X + 1) et (X − 1)(X + 1).
3
a = b
Puisque
b 3 = a ⇔
3
b = a
a 9 , dans le second cas, on parvient à
= a
(X − e iπ/4 )(X − e 3iπ/4 ), X 2 + 1 et (X − e −iπ/4 )(X − e −3iπ/4 ).
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