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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 23
Exercice 126 [ 02587 ] [correction]
I) Calcul de +∞
n=0
n 2 +3n+1
2n .
II) Dessiner ρ = a(1 + cos θ)
Exercice 127 [ 02588 ] [correction]
I) Soient E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E.
a) Montrer que E = A ⊕ A ⊥ (indice : on admettra que toute famille orthonormale
de E peut être complétée en une base orthonormale de E.
b) Montrer que A ⊥⊥ = A.
II) On considère l’équation différentielle
(E) : t 2 y ′′ (t) + 4ty ′ (t) + (2 − t 2 )y(t) − 1 = 0
a) Montrer qu’il existe une seule fonction f définie sur R décomposable en série
entière solution de E.
b) Montrer que g(t) = −1/t 2 est solution de (E).
c) Quel est l’ensemble des fonction réelles définies sur R solutions de (E) ?
Exercice 128 [ 02589 ] [correction]
I) Soit B ∈ Mn(C) vérifiant ∀k ∈ [[1, n]], tr(B k ) = 0.
a) Montrer que si B est triangulaire alors B est nilpotente.
b) Généraliser à B quelconque.
II) Montrer que f(x) = cos x ln(tan x) est sommable sur ]0, π/2[.
Calculer π/2
0
f(x)dx (on calculera d’abord π/2
cos x ln(sin x)dx).
0
Exercice 129 [ 02590 ] [correction]
I) Etudier la convergence de la série
ln 1 + sin (−1)n
nα
, α > 0.
II) Soit α1, . . . , αn des réels et A la matrice de coefficient général
ai,j = sin(αi + αj).
Montrer que det A = 0.
Exercice 130 [ 02591 ] [correction]
I) Soit A et B deux parties d’un espace vectoriel normé E, et
C = {x + y/x ∈ A, y ∈ B}.
a) On suppose A et B compactes ; montrer que C est compacte.
b) On suppose A compacte et B fermée ; montrer que C est fermée.
II) Soit A ∈ Mn(C) admettant n valeurs propres distinctes.
Exhiber une base du commutant de A et trouver sa dimension.
Exercice 131 [ 02592 ] [correction]
I) Enoncer les principales propriétés du groupe Sn ; montrer que son centre est
réduit à {Id} pour n 3.
II) a) Trouver une relation de récurrence concernant la suite d’intégrales
In = π/4
tan 0
n xdx.
b) Montrer que In ∼ 1
2n en +∞.
Exercice 132 [ 02593 ] [correction]
I) Trouver les solutions développables en séries entières de l’équation différentielle
2xy ′′ + y ′ − y = 0
II) Dans un espace vectoriel de dimension finie n, trouver un endomorphisme f
tels que ker f = Imf.
Exercice 133 [ 02594 ] [correction]
I) Calculer
sh(sin x) − sin(shx)
lim
x→0 tan(thx) − th(tan x)
Indication : on pourra faire des développements limités à l’ordre 7.
II) Soit G un groupe multiplicatif non vide de Mn(R) d’élément neutre E.
Montrer que tous les éléments de G sont de même rang.
Exercice 134 [ 03365 ] [correction]
I) a) Décomposer en éléments simples
f(x) =
1
(1 + x)(2 − x)
b) Montrer que f est développable en série entière puis donner son développement
et son rayon de convergence.
c) Donner un développement limité à l’ordre 3 de f.
II) Montrer
1 n n − 1 . . . 2
.
2 1 ..
3
Dn =
.
. .. . .. . ..
.
.
n − 1
.. 1 n
n n − 1 . . . 2 1
n+1 (n + 1)nn−1
= (−1)
2
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