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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 13
Exercice 72 [ 02517 ] [correction]
I) Etudier la courbe d’équation polaire ρ = 2 cos(2θ).
II) Pour n ∈ N⋆ et x ∈ R, on pose fn(x) = n
√ 1 − π
x2
2n2 4
2n
.
Soit g une fonction continue
sur R et nulle en dehors d’un segment [a, b].
Montrer que lim
n→+∞ R fn(x)g(x)dx = g(0).
Exercice 73 [ 02518 ] [correction]
I) Soit
A =
1 −1
2 4
Calculer A n pour tout n 1.
II) Etudier la suite de fonctions (fn) définie par
fn(x) = nx2 e −nx
1 − e −x2
Exercice 74 [ 02519 ] [correction]
I) Soit u un endomorphisme de matrice A dans une base orthonormale d’un
espace euclidien E.
Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes
(i) u est orthogonal, (ii) t AA = In et (iii) A est inversible et A −1 = t A.
II) Soit n ∈ N, n 2 et f l’application de R dans R définie par f(x) = xn sin
1
x
si x = 0 et f(0) = 0.
a) Montrer que f est dérivable sur R.
b) f admet-elle un développement limité en 0 ? si oui à quel ordre maximal ?
Exercice 75 [ 02520 ] [correction]
I) Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle y ′ − x
x2−1 y = 2x.
II) Soit E un espace euclidien et e = (e1, . . . , en) une famille de vecteurs unitaires
de E telle que ∀x ∈ E, x 2 = n
(ek | x) 2 . Montrer que la famille e est
k=1
orthogonale puis que E = Vect(e).
Exercice 76 [ 02521 ] [correction]
I) a) Montrer que si |an| ∼ |bn|, anz n et bnz n ont le même rayon de
convergence.
b) Donner le rayon de convergence de
i n n 2 z n
(n 2 + 1)2 n
II) Pour A = (ai,j) ∈ Mn(C) et B = (bi,j) ∈ Mn(C), on définit A ⋆ B ∈ Mn2(C) par
⎛
⎜
A ⋆ B = ⎝
a1,1B
.
· · · a1,nB
.
⎞
⎟
⎠
an,1B · · · an,nB
a) Montrer que si A, A ′ , B, B ′ ∈ Mn(C) alors (A ⋆ B)(A ′ ⋆ B ′ ) = (AA ′ ) ⋆ (BB ′ ).
b) En déduire que A ⋆ B est inversible si, et seulement si, A et B sont inversibles.
c) Déterminer le spectre de A ⋆ B.
En déduire le polynôme caractéristique, la trace et le déterminant de A ⋆ B.
Exercice 77 [ 02522 ] [correction]
I) Résoudre sur ]1, +∞[ l’équation différentielle
y ′ − x
x2 y = 2x
− 1
II) Soit (a1, . . . , an−1) ∈ Cn−1 .
a) Quel est le rang de A ∈ Mn(C) définie par
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
0
.
0
· · ·
· · ·
0
.
0
a1
.
an−1
a1 · · · an−1 0
b) Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres ?
c) A est-elle diagonalisable ?
Exercice 78 [ 02523 ] [correction]
I) Soient a, b, c ∈ R et
⎛
M = ⎝
0 a c
b 0 c
b −a 0
⎞
⎠
⎞
⎟
⎠ ?
La matrice M est-elle diagonalisable dans M3(R) ? dans M3(C) ?
II) Soit une série entière anz n de rayon de convergence non nul.
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