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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 60
II) P = (x + 1)X − 1 convient.
(E) ⇔ (x + 1)z ′ − z = (3x + 2)e 3x
Après résolution avec recollement la solution générale de cette dernière équation
est z(x) = λ(x + 1) + e 3x .
La solution générale est
(E) ⇔ y ′ − 3y = λ(x + 1) + e 3x
y(x) = λ ′ (3x + 4) + µe 3x + xe 3x
Exercice 82 : [énoncé]
I) (X − 2)(X − 3) annule A.
Par division euclidienne X n = (X − 2)(X − 3)Q(X) + R(X)
avec R(X) = λ(X − 2) + µ où µ = 2 n et λ = 3 n − 2 n .
On a donc A n = (3 n − 2 n )(A − 2I2) + 2 n I2.
II) f est définie sur ]−1, 1[ et f est solution de l’équation différentielle
(1 − x 2 )y ′ − xy = 1
Par produit de fonctions développables en série entière sur ]−1, 1[, f l’est aussi.
Puisque f est impaire, le développement en série entière de f est de la forme
On a
(1 − x 2 )f ′ (x) − xf(x) =
puis
La relation
donne alors
+∞
n=0
f(x) =
(1 − x 2 )f ′ (x) − xf(x) = a0 +
+∞
n=0
(2n + 1)anx 2n −
anx 2n+1
+∞
n=0
(2n + 1)anx 2n+2 −
+∞
n=0
+∞
((2n + 3)an+1 − (2n + 2)an)x 2n+2
n=0
(1 − x 2 )f ′ (x) − xf(x) = 1
a0 = 1 et ∀n ∈ N, an+1 =
2n + 2
2n + 3 an
anx 2n+2
d’où
On observe
donc R = 1.
an = 0 et
an = 22n (n!) 2
(2n + 1)!
an+1
an
=
4(n + 1) 2
→ 1
(2n + 3)(2n + 2)
Exercice 83 : [énoncé]
I) En passant en polaires f(x, y) = r2 cos2 θ sin2 θ −−−−−−−→ 0 = f(0, 0) donc f
(x,y)→(0,0)
est continue en (0, 0).
Par opérations, f est aussi continue sur R2 \ {(0, 0)} et donc f est continue sur R2 .
Par opérations, f est aussi de classe C 1 sur R 2 \ {(0, 0)}.
De plus lim
t→0
1
t
(f(t, 0) − f(0, 0)) = 0 donc ∂f
∂x
(0, 0) existe et ∂f
∂x
En passant en polaires, on vérifie la continuité de ∂f
∂x
en (0, 0).
(0, 0) = 0.
L’étude de ∂f
∂y est identique, on peut donc affirmer que f est de classe C1 sur R 2 et
donc différentiable.
II) a) Il existe x = 0, vérifiant u(v(x)) = λx et alors (v ◦ u)(v(x)) = λv(x). Or
v(x) = 0 car u(v(x)) = 0et u(0) = 0 donc λ est valeur propre de v ◦ u.
b) u ◦ v(P ) = P et v ◦ u(P ) = P − P (0) donc ker(u ◦ v) = {0} et
ker(v ◦ u) = R0 [X].
En substance, la propriété précédente ne vaut pas pour λ = 0 en dimension
quelconque.
c) Cependant, en dimension finie, si 0 est valeur propre de u ◦ v alors
det(u ◦ v) = 0 et donc det(v ◦ u) = 0 d’où 0 valeur propre de v ◦ u.
Exercice 84 : [énoncé]
I) Les coefficients de t com(A).A s’interprètent comme des développements de
déterminants selon une colonne. . .
Si A admet n valeurs propres distinctes, det A est le produit de ces valeurs
propres.
Si X = 0 vérifie AX = λX alors λ t com(A)X = (det A)X.
Ainsi quand λ = 0, X est vecteur propre de t com(A) associé à la valeur propre
det A
λ .
Si A n’est pas inversible alors det A = 0donc t com(A)A = 0 puis
ImA ⊂ ker t comA.
Ainsi dim ker t com(A) n − 1. De plus comA = 0 car rgA = n − 1 (car les valeurs
propres de A sont simples, en particulier 0). Par suite dim ker t com(A) = n − 1
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