[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 59
Exercice 77 : [énoncé]
I) Solution générale y(x) = C √ x 2 − 1 + 2(x 2 − 1).
II) a) rg(A) = 0 si a1 = . . . = an−1 = 0 et rg(A) = 2 sinon.
b) La somme des valeurs propres est nulle.
c) En développant le déterminant selon la dernière colonne puis en développant
les mineurs obtenus selon leur kème colonne, on obtient
χA = (−1) n X n−2 (X 2 − (a 2 1 + · · · + a 2 n−1)).
Si a 2 1 + · · · + a 2 n−1 = 0 alors A admet deux valeurs propres opposées non nulles et 0
pour valeur propre d’espace propre de dimension n − 2 donc A est diagonalisable.
Si a 2 1 + · · · + a 2 n−1 = 0 alors 0 est la seule valeur propre de A et A est
diagonalisable si, et seulement si, A = 0 i.e. a1 = . . . = an−1 = 0.
Exercice 78 : [énoncé]
I) χM = −X(X 2 − ab − bc + ca).
Si ab + bc > ca alors M est diagonalisable dans M3(R) et a fortiori dans M3(C).
Si ab + bc = ca alors 0 est seule valeur propre de M et donc M est diagonalisable
si, et seulement si, M = 0.
Si ab + bc < ca alors M n’est pas diagonalisable dans M3(R) mais l’est dans
M3(C).
II) a) Pour r ∈ ]0, R[, anr n converge donc anr n → 0 et à partir d’un certain
rang |an| rn 1.
b) an
n! = O 1
rn 1
n! et rnn! zn à un rayon de convergence +∞ donc an
n! zn a
pour rayon de convergence +∞.
c) On peut choisir r < 1 de sorte que |Sn| n
k=0
ci-dessus Sn
n! zn a pour rayon de convergence +∞.
|ak| n+1
r n
car 1
r k 1
r n . Comme
Exercice 79 : [énoncé]
I) f est C1 par morceaux et régularisée donc développable en série de Fourier.
f est impaire, an = 0, bn = 2
π
π
0 t sin(nt)dt = (−1)n+12 n
+∞
f(t) = 2
n=1
(−1) n+1
sin(nt)
n
I) Si A est diagonalisable il est immédiat que B l’est aussi.
Inversement, si B est diagonalisable alors il existe un polynôme annulateur de B
scindé à racines simple
m
(X − λk)
k=1
puis
Puisque B = Ap , le polynôme m
(Xp − λk) est annulateur de A, or ce dernier est
k=1
scindé à racines simples car
- les facteurs X p − λk et X p − λℓ (avec k = ℓ) on des racines deux à deux
distinctes ;
- les racines de X p − λk sont simples.
On en déduit que A est diagonalisable.
Exercice 80 : [énoncé]
I) Classiquement une lemniscate de Bernoulli.
II) f ′ 1 (x) = 1+(1+x) 2 1 = x2 +2x+2 est une fraction rationnelle dont 0 n’est pas pôle
donc f ′ puis f sont développables en série entière et les rayons de convergence des
séries entières correspondantes sont égaux.
1
x2
1/2i 1/2i
−i
1
+2x+2 = x+1−i − x+1+i = Re x+1−i = Im x+1−i .
1 = +∞
1 1
x+1−i = 1−i
1+ x
1−i
n=0
Comme 1 − i = √ 2e −iπ/4 on a
puis f(x) = π
+∞
4 +
n=0
Exercice 81 : [énoncé]
I) a) On a
(−1) n
(1−i) n+1 x n avec un rayon de convergence R = √ 2.
1
x2 +∞
+2x+2 =
n=0
cos (3n+1)π
4
(n+1)2 (n+1)/2 x n+1 avec R = √ 2.
x 2 + 2x + 4y 2 − 8y + 1 = 0 ⇔
cos (3n+1)π
4
2 (n+1)/2 x n
(x + 1)2
2 2
+ (y − 1)2
1 2
La courbe est une ellipse de centre Ω(−1, 1) déterminée par a = 2, b = 1.
b) Un joli dessin.
c) Un paramétrage de l’ellipse est
x = −1 + 2 cos t
avec t ∈ [−π, π]
y = 1 + sin t
La courbe intercepte l’axe des y pour les paramètres t = ±π/3 et la pente de la
tangente en ce point est
m = y′ (t)
x ′ 1
= ±
(t) 2 √ 3
On peut aussi déterminer l’équation de la tangente puis sa pente par
dédoublement mais cette méthode est sensiblement moins efficace.
= 1
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