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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 29
b) Démontrez que
II) a) Montrer que la forme différentielle
A ⊥ ⊥ = A
ω(x, y) = (xy − y 2 + 1) dx + (x 2 − xy − 1) dy
n’est pas fermée.
b) Déterminer les fonctions f : R → R dérivable telle que la forme différentielle
soit exacte et déterminer ses primitives.
ω(x, y)f(xy)
Exercice 154 [ 03369 ] [correction]
I) a) Soit X une partie de R, (fn)n∈N une suite de fonctions de X dans R ou C
qui convergeant simplement vers une fonction f. On suppose qu’il existe une suite
(xn)n∈N d’éléments de X telle que la suite (fn(xn) − f(xn)) n∈N ne tend pas vers 0.
Démontrez que la suite de fonctions (fn)n∈N ne converge pas uniformément vers f
sur X.
b) Pour x ∈ R. On pose
fn(x) = sin(nx)
1 + n 2 x 2
Etudiez la convergence simple de la suite (fn)n∈N.
Etudiez la convergence uniforme de la suite (fn)n∈N sur [a, +∞[ (avec a > 0) puis
sur ]0, +∞[.
II) Soit f définie sur R 2 par
f(x, y) = x 3 + y 3 − 3xy − 1
a) Montrer que la condition f(x, y) = 0 définit au voisinage de (0, 1) une fonction
implicite x ↦→ y = φ(x).
b) Donner un développement limité à l’ordre 3 de φ au voisinage de 0.
Exercice 155 [ 03371 ] [correction]
I) On considère la courbe C définie paramétriquement par :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = u2 − 1
u
y = u2 + 1
u + 1
, u > 0
Donnez l’allure de la courbe C, précisez la (ou les) asymptote(s) éventuelle(s)
II) a) Déterminer la limite de la suite définie par :
u0 0 et ∀n ∈ N, un+1 = e−un
n + 1
b) Déterminer la limite de la suite définie par
vn = nun
c) Donner la nature de la série un et celle de la série (−1) n un
Exercice 156 [ 03450 ] [correction]
I) a) On considère deux suites réelles (un) et (vn) telles que un ∼ vn.
Démontrez que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang.
b) Déterminer le signe au voisinage de l’infini de
un = sh
1
n
− tan
II) On considère un R-espace vectoriel de dimension finie E, u un endomorphisme
de E, U = (ui,j) la matrice de u dans une base de E, ei,j les projecteurs associés à
cette base et Ei,j la matrice de ces projecteurs.
On considère ϕ l’endomorphisme dans L(E) tel que
ϕ(v) = u ◦ v
a) Montrer que ϕ et u ont les mêmes valeurs propres.
b) Calculer UEi,j en fonction des Ek,j. En déduire qu’il existe une base de L(E)
dans laquelle la matrice de ϕ est diagonale par blocs.
c) Exprimer cette matrice.
1
n
Exercice 157 [ 03788 ] [correction]
I) Soient (un)n∈N une suite de réels strictement positifs et ℓ un réel positif
strictement inférieur à 1.
a) Démontrer que si
un+1
lim = ℓ
n→+∞ un
alors la série un converge.
un+1
Indice : écrire judicieusement la définition de lim = ℓ puis majorer, pour n
un n→+∞
assez grand, un par le terme général d’une série géométrique.
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