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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 87
et alors par récurrence
∀n N, un uNq n−N
Puisque la série de terme général q n est convergente, par comparaison de séries à
termes positifs, la série de terme général un est convergente.
b) Si on pose
alors
un+1
un
=
un =
n!
(3n + 1)!
n + 1
→ 0
(3n + 4)(3n + 3)(3n + 2)
et donc la série de terme général un converge.
b) Si on pose
n!
un =
(3n + 1)!
alors
un+1
un
=
n + 1
→ 0
(3n + 4)(3n + 3)(3n + 2)
et donc la série de terme général un converge.
II) a) L’image d’un endomorphisme est toujours stable par celui-ci. . .
b) Si x ∈ Imu alors il existe a ∈ E tel que x = u(a). On a alors
u 2 (x) = u 3 (a) = −u(a) = −x
c) En vertu de ce qui précède, v 2 = −IdE donc v est un isomorphisme et
v −1 = −v.
d) D’une part
det(v −1 ) = 1
det v
et d’autre part
det(−v) = (−1) dim Imu det v
donc
(−1) dim Imu > 0
On en déduit que la dimension de l’image de u est paire.
Exercice 145 : [énoncé]
I) a) La fonction f est continue par morceaux sur ]0, +∞[.
Quand t → 0 + , √ tf(t) → 0 et quand t → +∞, t 3/2 f(t) → 0 donc f est intégrable
sur ]0, 1] et [1, +∞[.
b) Par une intégration par parties où l’on choisit judicieusement une primitive
s’annulant en 0
1
0
ln t
dt =
(1 + t) 2
Par le changement de variable u = 1/t
+∞
1
ln t − 1
1 1
+ 1 −
1 + t 0 0
1
ln t
ln u
dt = −
du = ln 2
(1 + t) 2
0 (u + 1) 2
1
dt = − ln 2
1 + t
II) a) P est la matrice de l’application IdE dans les bases B au départ et b à
l’arrivée.
La relation x = IdE(x) donne matriciellement v = P V .
b) La relation f = Id −1
E ◦ f ◦ IdE donne matriciellement M = P −1 mP .
c) Dans une base de vecteurs propres, la matrice de f est diagonale et ses
puissances sont alors faciles à calculer. Par changement de base, on en déduit m n .
Exercice 146 : [énoncé]
I) a) A = (ai,j), B = (bi,j), AB = (ci,j) et BA = (di,j) avec
donc
tr(AB) =
ci,j =
n
n
k=1
i=1 k=1
ai,kbk,j et di,j =
n
k=1
n
ai,kbk,i et tr(BA) =
bi,kak,j
n
n
i=1 k=1
En réorganisant les deux sommes, on obtient tr(AB) = tr(BA).
b) Si B = P −1 AP alors
trB = tr P −1 (AP ) = tr (AP )P −1 = trA
bi,kak,i
Ainsi si les matrices A et B sont semblables, alors elles ont même trace.
Les matrices d’un même endomorphisme étant semblables entres elles, on peut
conclure.
c) A k et B k représentent le même endomorphisme donc ces matrices sont
semblables et ont même trace.
II) L’équation étudiée est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 définie sur
]−1, 1[ d’équation homogène
(1 − x 2 )y ′′ − 3xy ′ − y = 0
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