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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 77
La courbe x = cos 2 t + ln |sin t| , y = sin t cos t
Exercice 121 : [énoncé]
I) On a toujours ker f ⊂ ker g ◦ f.
Si x ∈ ker g ◦ f alors f(x) = (f ◦ g ◦ f)(x) = f (g ◦ f(x)) = f(0) = 0.
Ainsi ker g ◦ f ⊂ ker f puis l’égalité.
On a toujours Img ◦ f ⊂ Img.
Si y = Img alors il existe x ∈ E tel que y = g(x) et alors
y = (g ◦ f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(g(x)) ∈ Img ◦ f.
Ainsi Img ⊂ Img ◦ f puis l’égalité.
Soit x ∈ Img ∩ ker f. Il existe a ∈ E vérifiant x = g(a) et alors f(x) = 0 donne
f(g(a)) = 0 puis (g ◦ f ◦ g)(a) = 0. Or g ◦ f ◦ g = g donc x = g(a) = 0.
Ainsi Img ∩ ker f = {0} et les espaces Img et ker f sont en somme directe.
Enfin, par la formule du rang
dim Img + dim ker f = rg(g ◦ f) + dim ker(g ◦ f) = dim E donc Img ⊕ ker f = E.
II) On a
donc
Posons f(x) = √ x
x−1 .
n
Sn = Re e ikθ
f ′ (x) =
1
2
k=1
|Sn|
donc f est décroissante sur [2, +∞[.
un = f(n) cos(nθ) = f(n) (Sn − Sn−1) donc
N
un =
n=2
N
n=2
N−1
f(n)Sn− f(n + 1)Sn =
n=1
= Re e iθ einθ − 1
eiθ
− 1
2
|eiθ = Mθ
− 1|
(x − 1) − x (x + 1)
√ = −1 √ 0
x(x − 1) 2 2 x(x − 1) 2
N
(f(n) − f(n + 1)) Sn+f(N+1)SN −f(2)S1
n=2
Or f(N + 1)SN −−−−−→
N→+∞ 0 car SN = O(1) et f −−→
+∞ 0.
De plus
|(f(n) − f(n + 1)) Sn| Mθ (f(n) − f(n + 1))
avec f(n) − f(n + 1) série convergente (car f converge en +∞) donc par
comparaison (f(n) − f(n + 1)) Sn
est absolument convergente.
N
Ainsi par opérations,
converge et donc un converge.
un
n=2
N2
On a
√ √
n
n
|un| = |cos(nθ)|
n − 1 n − 1 cos2 (nθ)
Or cos 2a = 2 cos2 a − 1 donc cos2 a 1 cos 2a + 1 puis
2
|un| 1
√ √
n
1 n
cos(2nθ) +
2 n − 1 2 n − 1
En reprenant l’étude qui précède avec 2θ au lieu de θ, on peut affirmer que
√
1 n
2 n − 1 cos(2nθ)
converge tandis que √ n
2(n−1)
1
1
diverge puisque 2 n−1 ∼ 2 √ n .
Par comparaison, on peut affirmer que |un| diverge.
√ n
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