[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 92
Par suite f est solution du problème posé si, et seulement si, f est solution de
l’équation différentielle
y ′ (t) = y(t)
Après résolution de cette équation différentielle linéaire d’ordre 1, on obtient la
solution générale
f(t) = λe t avec λ ∈ R
On obtient alors une primitive U de la fonction forme différentielle étudiée en
résolvant le système ⎧⎪
∂U
⎨
∂x
⎪⎩
(x, y) = λexy (xy − y 2 + 1)
∂U
∂y (x, y) = λexy (x 2 − xy − 1)
Au terme des calculs, on obtient
U(x, y) = λ(x − y)e xy + C
Exercice 154 : [énoncé]
I) a) Par contraposée, si (fn) converge uniformément vers f alors pour n assez
grand fn − f ∞ existe et fn − f ∞ → 0.
On a alors
|fn(xn) − f(xn)| fn − f ∞ → 0
et donc fn(xn) − f(xn) → 0.
b) Pour tout x > 0, fn(x) → 0 donc la suite (fn) converge simplement vers la
fonction nulle sur ]0, +∞[.
Pour x a,
donc
|fn(x)|
1
1 + a 2 n 2
1
fn∞,[a,+∞[ = sup |fn(x)|
x∈[a,+∞[ 1 + a2 → 0
n2 On en déduit que la suite (fn) converge uniformément vers la fonction nulle sur
[a, +∞[ (avec a > 0).
Pour xn = π/2n, on a
1
fn(xn) =
1 + π2
4
qui ne tend pas vers 0.
On en déduit que la suite de fonctions (fn) ne converge pas uniformément sur
]0, +∞[.
II) a) La fonction f est de classe C 1 , f(0, 1) = 0 et
∂f
(0, 1) = 3 = 0
∂y
donc on peut appliquer le théorème des fonctions implicites définissant φ au
voisinage de 0.
b) Puisque f est de classe C ∞ , le théorème des fonctions implicites assure que φ
est aussi de classe C ∞ au voisinage de 0. En particulier φ est de classe C 3 et donc
admet un développement limité à l’ordre 3. Puisque φ(0) = 1, ce développement
est de la forme
φ(x) = 1 + ax + bx 2 + cx 3 + o(x 3 )
Puisque f(x, φ(x)) = 0 au voisinage de 0, on a
et donc
ce qui donne
x 3 + (1 + ax + bx 2 + cx 3 + o(x 3 )) − 3x(1 + ax + bx 2 + o(x 2 )) = 1
x 3 + (1 + ax + bx 2 + cx 3 + o(x 3 )) 3 − 3x(1 + ax + bx 2 + o(x 2 )) = 1
3(a − 1)x + (3a 2 − 3a + 3b)x 2 + (1 + a 3 + 6ab − 3b + 3c)x 3 + o(x 3 ) = 0
Par unicité des coefficients d’un développement limité, on obtient
a = 1, b = 0 et c = −2/3
Exercice 155 : [énoncé]
I) Les fonctions et sont définies et de classe sur l’intervalle .
Il n’y a pas de réduction remarquable du domaine d’étude
Le tableau des variations simultanées est
En , et La droite d’équation est asymptote, courbe au dessus.
En , et La droite d’équation est asymptote, courbe en dessous.
plot([(uˆ2-1)/u,(uˆ2+1)/(u+1),u=0..5],view=[-8..3,-
6..6],numpoints=200) ;
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD