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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 27
Exercice 146 [ 03293 ] [correction]
I) a) Démontrez que si A et B sont deux matrices carrées d’ordre alors AB et BA
ont même trace.
b) Déduisez-en qu’en dimension finie toutes les matrices d’un même
endomorphisme ont même trace.
c) Démontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k ∈ N, A k et B k ont
même trace.
II) Résoudre l’équation différentielle
(1 − x 2 )y ′′ − 3xy ′ − y =
(on pourra vérifier que l’application x ↦→ 1 √
1−x2 homogène associée)
x
√ 1 − x 2
est solution de l’équation
Exercice 147 [ 03295 ] [correction]
I) On définit dans M2(R) × M2(R) l’application ϕ(A, A ′ ) = tr( tAA ′ )
On note
F =
a b
−b a
/(a, b) ∈ R 2
On admet que ϕ est un produit scalaire sur M2(R)..
a) Démontrez que F est un sous-espace vectoriel de M2(R).
b) Déterminez une base orthonormée de F ⊥ .
d) Déterminez le projeté orthogonal de
1 1
J =
1 1
sur F ⊥ .
II) Montrer
lim
n→+∞ n
+∞
1
e −xn
+∞
dx =
1
e −x
x dx
Exercice 148 [ 03301 ] [correction]
I) a) Montrer que si P est un polynôme annulateur d’un endomorphisme f alors
P (λ) = 0 pour toute valeur propre λ de f.
b) Montrer que si f vérifie
alors f est bijectif.
f 3 + 2f 2 − f − 2Id = 0
II) On note E l’espace des fonctions réelles définies et continues sur [0, 1].
On note E∞ cet espace muni de la norme
. ∞ : f ↦→ sup |f(t)|
t∈[0,1]
et E1 cet espace muni de la norme
1
. 1 : f ↦→ |f(t)| dt
Soit u l’endomorphisme de E défini par
u(f)(x) =
0
x
0
tf(t) dt
a) Montrer que l’application v de E∞ vers E1 qui à f associe u(f) est continue et
déterminer sa norme.
b) Montrer que l’application w de E1 vers E∞ qui à f associe u(f) est continue et
déterminer sa norme.
Exercice 149 [ 03359 ] [correction]
I) Pour tout n 1, on pose
+∞
In =
0
−1
1 + t2 n dt
a) Justifiez que In est bien définie.
b) Démontrez que la suite ((−1) n In) décroît et déterminer sa limite.
c) La série In est-elle convergente ?
II) Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E sur R ou C
vérifiant f ◦ g = Id.
a) Montrer que ker(g ◦ f) = ker f et Im(g ◦ f) = Img.
b) Montrer
E = ker f ⊕ Img
c) Dans quel cas peut-on conclure g = f −1 ?
d) Calculer (g ◦ f) ◦ (g ◦ f) et caractériser g ◦ f
Exercice 150 [ 03361 ] [correction]
I) On munit E = Mp(C) de la norme
M = max
1i,jp |mi,j|
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