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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 7
d) On note H(n) = nG(n) ; montrer que la série de terme général
H(n) − H(n − 1) − 1
2n
converge et en déduire un équivalent de G(n).
Exercice 39 [ 02360 ] [correction]
I) Soit E l’ensemble des matrices de M2(R) de la forme
M(a, b) =
a
−b
b
a
où a et b sont des nombres réels
a) Démontrez que E est un sous-espace vectoriel et un sous anneau de M2(R).
Quelle est sa dimension ?
b) On pose ϕ(a + ib) = M(a, b). Démontrez que ϕ est un isomorphisme d’espaces
vectoriels de C sur E, C étant considérés comme un espace vectoriel de dimension
2 sur R.
Est-ce un isomorphisme d’anneaux ?
II) Pour n ∈ N⋆ , soit fn l’application définie par
2sh(x)
fn(x) = enx−1 si x ∈ ]0, +∞[
α si x = 0
a) Pour quelle valeurs de α la fonction fn est-elle continue ?
Dans la suite, on prendra cette valeur de α.
b) Montrer que fn est bornée.
c) Montrer que +∞
fn(x) dx existe pour n 2.
0
fn(x) dx comme la somme d’une série.
d) Exprimer +∞
0
Exercice 40 [ 02392 ] [correction]
I) Soit b = (i,j) et B = ( I, J) deux bases de R 2 et P = (pi,j) la matrice 2 × 2 tel
que
I = p1,1 i + p2,1 j et J = p1,2 i + p2,2 j
a) Soit un vecteur de R 2 de matrice colonne v dans b et V dans B.
Etablir la relation liant v, V , et P .
b) Soit un endomorphisme de R 2 dont la matrice dans b est m et celle dans B est
M. Etablir la relation liant m, M, P et P −1 .
c) Connaissant deux vecteurs propres distincts de m, proposer une relation
permettant de calculer m n .
II) Soit f une application réelle de classe C 1 sur [a, b] avec 0 < a < 1 < b et
f(1) = 0. Soit (fn) la suite de fonctions telle que
a) Déterminer la limite simple de (fn).
b) Etablir l’égalité suivante :
c) Montrer que
lim
n→+∞
fn(x) = f(x)
1 + x n
b
a
1
fn(t) dt = f(t) dt
1
t n−1 fn(t) dt ∼
a
a
ln 2
n f(1)
Exercice 41 [ 02394 ] [correction]
I) On considère la courbe définie en coordonnées polaires par
r = 2 cos(2θ)
a) Etudiez les symétries éventuelles de cette courbe.
b) Donnez l’allure de cette courbe
c) Précisez la tangente en point de paramètre θ = π/4.
II) Soit anxn une série entière de rayon de convergence R = 1.
Pour x ∈ ]−1, 1[, on définit
S(x) =
+∞
n=0
anx n
On suppose que :
- ∀n ∈ N, an 0 ;
- S est bornée sur [0, 1[
a) Montrer que an est une série convergente.
b) Montrer que
lim
x→1−
+∞
anx n
=
n=0
Exercice 42 [ 02410 ] [correction]
I) Résolvez sur ]1, +∞[ l’équation différentielle
+∞
an
n=0
y ′ + x
y = 2x
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