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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 37
avec
et
donc
cn = cn(φ) = 1
α cn(f − φ ′ ) = 1
α (cn(f) − cn(φ ′ ))
cn(φ ′ ) = incn(φ)
cn = cn(f)
in + α
Exercice 17 : [énoncé]
a) La fonction f est continue et de classe C 1 par morceaux sur R car elle l’est sur
[−π, π]. On en déduit que la série de Fourier de f converge uniformément vers f.
b) Après calculs, pour n ∈ N,
n−1 2α sin απ
an = (−1)
π(n2 − α2 ) et bn = 0
c) Pour tout t = π, la convergence de la série de Fourier de f donne
cos(απ) =
et en posant x = απ on obtient
cos x =
ce qui fournit la relation demandée.
sin απ
απ +
+∞ 2α sin(απ)
π(α
n=1
2 − n2 )
sin x
x +
+∞
n=1
2x sin x
x 2 − (nπ) 2
Exercice 18 : [énoncé]
a) Evidemment ker f ⊂ ker(g ◦ f) et Im(g ◦ f) ⊂ Img.
Pour x ∈ ker(g ◦ f), on a f(x) = f(g(f(x)) = f(0) = 0 donc x ∈ ker f.
Pour y ∈ Img, il existe x ∈ E tel que y = g(x) et alors
y = g(f(g(x)) = g(f(a)) ∈ Im(g ◦ f).
b) Si x ∈ ker f ∩ Img alors on peut écrire x = g(a) et puisque f(x) = 0,
a = f(g(a)) = 0 donc x = 0.
Pour x ∈ E, on peut écrire x = (x − g(f(x)) + g(f(x)) avec x − g(f(x)) ∈ ker f et
g(f(x)) ∈ Img.
c) Si f est inversible alors f ◦ g = Id entraîne g = f −1 .
Cette condition suffisante est aussi évidemment nécessaire.
d) (g ◦ f) ◦ (g ◦ f) = g ◦ (f ◦ g) ◦ f = g ◦ f et donc g ◦ f est un projecteur.
Exercice 19 : [énoncé]
L’équation étudiée est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 définie sur
]−1, 1[ d’équation homogène
On vérifie par le calcul que la fonction
(1 − x 2 )y ′′ − 3xy ′′ − y = 0
ϕ : x ↦→
1
√ 1 − x 2
est solution de cette équation homogène et qu’elle ne s’annule pas.
Par la méthode de Lagrange, on cherche une deuxième solution indépendante de
la forme
ψ : x ↦→ λ(x)ϕ(x) avec λ fonction deux fois dérivable
On parvient à l’équation
λ ′′ (x) = x
1 − x 2 λ′ (x)
La fonction λ : x ↦→ arcsin x convient ce qui donne
ψ : x ↦→
arcsin x
√ 1 − x 2
Pour trouver une solution particulière de l’équation complète, on applique la
méthode de variation des constantes et on cherche cette solution de la forme
avec λ, µ fonctions dérivables vérifiant
On parvient au système
⎧
⎨
Après résolution
et donc
⎩
y(x) = λ(x)ϕ(x) + µ(x)ψ(x)
λ ′ (x)ϕ(x) + µ ′ (x)ψ(x) = 0
λ ′ (x)ϕ(x) + µ ′ (x)ψ(x) = 0
λ ′ (x)ϕ ′ (x) + µ ′ (x)ψ ′ (x) =
x
(1 − x 2 ) 3/2
λ(x) = − 1 − x 2 et µ(x) = 1 − x 2 arcsin x − x conviennent
x
y(x) = −√
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