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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 93
Courbe donnée par II) a) La suite est bien définie et à termes tous positifs. On en
déduit
et donc .
b) .
c) Puisque , la série diverge par équivalence de séries à termes positifs.
On a aussi
donc
donc la série converge car son terme général est la somme d’un terme vérifiant le
critère spécial et d’un terme sommable.
Exercice 156 : [énoncé]
I) a) Puisque un ∼ vn on peut écrire
A partir d’un certain rang
et donc un est du signe de vn.
un = vn + o(vn)
|o(vn)| 1
2 |vn|
b) Quand n → +∞,
donc
sh 1 1
=
n n
1 1
+ + o
6n3 n3
et tan 1 1
=
n n
1 1
+ + o
3n3 n3
un ∼ − 1
6n 3
et un est négatif pour n assez grand.
II) a) Soit λ une valeur propre de ϕ.
Il existe v ∈ L(E)\ ˜0 tel que u ◦ v = λv.
Soit alors x ∈ E tel que v(x) = 0 (ce qui est possible puisque v = ˜0)
Puisque u (v(x)) = λv(x), on peut affirmer que λ est valeur propre de u.
Inversement soit λ une valeur propre de u et x = 0 un vecteur propre associé.
Considérons v l’endomorphisme de E déterminé par
∀1 i n, v(ei) = x
L’endomorphisme v est bien déterminé puisqu’on a ici fixé l’image d’une base.
Puisque a u ◦ v = λv (car cette égalité vaut pour les vecteurs d’une base), on
obtient ϕ(v) = λv avec v = ˜0. Ainsi λ est aussi valeur propre de ϕ.
b et c) Sachant Ei,jEk,ℓ = δj,kEi,ℓ,
UEi,j =
n
k,ℓ=1
uk,ℓEk,ℓEi,j =
n
k=1
uk,iEk,j
Dans la base ((E1,1, . . . , En,1), (E1,2, . . . , En,2), . . . , (E1,n, . . . , En,n)), la matrice de
ϕ est diagonale par blocs avec des blocs diagonaux chacun égaux à U.
Exercice 157 : [énoncé]
a) Soit q ∈ ]ℓ, 1[. A partir de la définition quantifiée de la limite avec
ε = q − ℓ > 0, il existe un rang N ∈ N à partir duquel
et alors par récurrence
un+1
un
q
∀n N, un uN q n−N
Puisque la série de terme général q n est convergente, par comparaison de séries à
termes positifs, la série de terme général un est convergente.
b) Si on pose
un =
n
(3n + 1)!
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