[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
[<strong>http</strong>://<strong>mp</strong>.<strong>cpgedupuydelome</strong>.<strong>fr</strong>] <strong>édité</strong> <strong>le</strong> 26 juil<strong>le</strong>t <strong>2013</strong> Corrections 71<br />
donc f admet une première dérivée partiel<strong>le</strong> en (0, 0) et<br />
De même<br />
∂f<br />
(0, 0) = 0<br />
∂x<br />
∂f<br />
(0, 0) = 0<br />
∂y<br />
II) x : t ↦→ cos2 t + ln |sin t| et y : t ↦→ sin t cos t sont définies et de classe C∞ sur <strong>le</strong>s<br />
interval<strong>le</strong>s ]kπ, (k + 1)π[.<br />
Ces fonctions sont π-périodiques ce qui permet de limiter l’étude à l’interval<strong>le</strong><br />
]0, π[.<br />
x(π − t) = x(t) et y(π − t) = y(t) donc <strong>le</strong>s points de paramètres t et π − t sont<br />
symétriques par rapport à l’axe (Ox).<br />
Ceci permet de limiter l’étude à l’interval<strong>le</strong> ]0, π/2].<br />
On a<br />
x ′ (t) = − cos(t)(2 sin2 t − 1)<br />
, y<br />
sin t<br />
′ (t) = cos(2t)<br />
On en déduit <strong>le</strong>s variations suivantes<br />
t 0 π/4 π/2<br />
x ′ (t) + 0 − 0<br />
x(t) −∞ ↗ α ↘ 0<br />
y(t) 0 ↗ 1/2 ↘ 0<br />
y ′ (t) + 0 −<br />
avec α = 1 1<br />
2 − 2 ln 2<br />
Quand t → 0 + , l’axe (Ox) est asy<strong>mp</strong>tote, courbe au dessus.<br />
Quand t = π/2, il y a une tangente vertica<strong>le</strong>.<br />
Quand t = π/4, il y a un point stationnaire. Etudions-<strong>le</strong> !<br />
Quand t → π/4, t = π/4 + h avec h → 0.<br />
Formons <strong>le</strong>s développements limités de x(t) et y(t) en intégrant <strong>le</strong>s<br />
développements limités de <strong>le</strong>ur dérivées.<br />
Exploitons<br />
sin(t) = sin(π/4 + h) = 1<br />
√ (cos h + sin h) =<br />
2 1<br />
<br />
√ 1 + h −<br />
2<br />
1<br />
2 h2 + o(h 2 <br />
)<br />
et<br />
On obtient<br />
x ′ (t) = −<br />
cos(t) = cos(π/4 + h) = 1<br />
√ 2 (cos h − sin h) = 1<br />
√ 2 (1 − h + o(h))<br />
1 1<br />
(1 − h + o(h)) + h − 2h2 + o(h2 ) <br />
2<br />
− 1<br />
<br />
1 1 + h − 2h2 + o(h2 ) = −2h + 4h2 + o(h 2 )<br />
et<br />
y ′ (t) = cos(π/2 + h) = − sin h = −h + o(h 2 )<br />
On en déduit x(t) = α − h2 + 4<br />
3h3 + o(h3 ) et y(t) = 1 1<br />
2 − 2h2 + o(h3 ).<br />
Par suite p = 2, q = 3 et<br />
on a un point de rebroussement de 1ère espèce de<br />
<br />
−1<br />
tangente dirigée par u <br />
−1/2 .<br />
La courbe x = cos 2 t + ln |sin t| , y = sin t cos t<br />
Exercice 109 : [énoncé]<br />
I) a) Il suffit de calcu<strong>le</strong>r <strong>le</strong> polynôme caractéristique de f à partir d’une<br />
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD