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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 61
Sous réserve que n 2, 0 est valeur propre de tcomA et puisque
dim ker tcom(A) = n − 1, il ne reste de place que pour une seule autre valeur
propre.
Soit X ∈ ker A\ {0},. On a tcom(A + tIn)(A + tIn)X = det(A + tIn)X
Pour t = 0, on a tcom(A + tIn)X = det(A+tIn)
t X.
Quand t → 0 + , par continuité tcom(A + tIn)X → tcom(A)X. En calculant le déterminant par diagonalisation, det(A+tIn)
t → µ avec µ le produit
des valeurs propres non nulles de A.
Par unicité de la limite, on obtient tcom(A)X = µX.
Au final, tcomA admet 2 valeurs propres : 0 et µ.
−1
II) f(x) = −x2 +x+2 = 1 −1/3 1/3
(x+1)(x−2) = x+1 + x−2 .
f est la somme de deux fonctions développables en série entière sur ]−1, 1[, elle
l’est donc aussi.
On a pour x ∈ ]−1, 1[, f(x) = − 1
+∞
3 (−1) nxn − 1
+∞
x
6
n
2n .
n=0
Le rayon de convergence du développement en série entière vérifie alors R 1 et
puisque f tend vers l’infini en −1, on a R = 1.
Les trois premiers termes du développement en série entière donne la partie
régulière du développement de Taylor de f et donc permet de former un
développement limité à l’ordre 3 en 0.
Exercice 85 : [énoncé]
I) a) Pour x = 0, posons
n=0
un = anx n et vn = nanx n−1
En notant ℓ la limite de la suite de terme général |an+1|/|an|, on obtient
un+1
vn+1
→ ℓ |x| et
→ ℓ |x|
un
On en déduit que le rayon de convergence des deux séries entières anxn
et
nanxn−1 vaut R = 1/ℓ (avec R = +∞ dans le cas ℓ = 0)
b) Puisqu’une série entière de rayon de convergence R > 0 converge uniformément
sur tout segment inclus dans ]−R, R[, on peut affirmer que la fonction
x ↦→ +∞
anxn est de classe C1 sur ]−R, R[ car c’est la somme d’une série de
n=0
fonctions de classe C 1 convergeant simplement sur ]−R, R[ et dont la série des
dérivées converge uniformément sur tout segment inclus dans ]−R, R[.
II) a et b) Pour P = a + bX + cX 2 , e1(P ) = a, e2(P ) = b, e3(P ) = c,
v(P ) = a + b + c et w(P ) = a + 1 1
2b + 3c. vn
Par suite v = e1 + e2 + e3 et w = e1 + 1
2e2 + 1
3e3. La matrice de la famille e ′ dans e est
⎛
1
Q = ⎝ 0
1
1
1
1/2
⎞
⎠
0 1 1/3
Cette dernière est inversible donc e ′ est une base et Q est la matrice de passage
voulue.
c) Pour déterminer la base antéduale (P1, P2, P3) de e ′ il suffit de résoudre les
systèmes ⎧
⎪⎨ e1(P1) = 1
⎧
⎪⎨ e1(P2) = 0
⎧
⎪⎨ e1(P3) = 0
v(P1) = 0 , v(P2) = 1
⎪⎩
⎪⎩
w(P1) = 0 w(P2) = 0
et v(P3) = 0
⎪⎩
w(P3) = 1
Ceci est facile en raisonnant à coefficients inconnus.
Cela revient aussi à calculer l’inverse de la matrice t Q.
Il est même possible de faire un lien théorique, mais ce dernier n’est pas au
programme.
Exercice 86 : [énoncé]
I) a) Puisque un ∼ vn on peut écrire
A partir d’un certain rang
et donc un est du signe de vn.
b) Quand n → +∞,
donc
sh 1 1
=
n n
1 1
+ + o
6n3 n3
et un est négatif pour n assez grand.
II)
un = vn + o(vn)
|o(vn)| 1
2 |vn|
et tan 1 1
=
n n
un ∼ − 1
6n 3
y 2 − (3x 2 + 2x + 1) = 0 ⇔ y2
2/3
1 1
+ + o
3n3 n3
1 (x + 3 − )2
= 1
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