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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 3
Exercice 18 [ 03360 ] [correction]
Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E sur R ou C vérifiant
f ◦ g = Id.
a) Montrer que ker(g ◦ f) = ker f et Im(g ◦ f) = Img.
b) Montrer
E = ker f ⊕ Img
c) Dans quel cas peut-on conclure g = f −1 ?
d) Calculer (g ◦ f) ◦ (g ◦ f) et caractériser g ◦ f
Exercice 19 [ 03292 ] [correction]
Résoudre l’équation différentielle
(1 − x 2 )y ′′ − 3xy ′ − y =
(on pourra vérifier que l’application x ↦→ 1 √
1−x2 homogène associée)
x
√ 1 − x 2
est solution de l’équation
Exercice 20 [ 02175 ] [correction]
Soient a ∈ ]0, π[ et n ∈ N ⋆ . Factoriser dans C [X] puis dans R [X] le polynôme
X 2n − 2 cos(na)X n + 1
Exercice 21 [ 03347 ] [correction]
On considère l’espace vectoriel R n muni de son produit scalaire usuel noté 〈. | .〉.
Soit f un endomorphisme symétrique de R n dont toutes les valeurs propres sont
strictement positives.
a) Montrer que
∀x ∈ R n \ {0} , 〈f(x) | x〉 > 0
b) Soit u un vecteur de R n et g : R n → R l’application définie par
g(x) = 1
〈f(x) | x〉 − 〈u | x〉
2
Montrer que g admet des dérivées partielles selon tout vecteur de R n et les
expliciter.
c) Montrer que g admet un unique point critique noté z.
d) Montrer que g admet un minimum global en z.
Exercice 22 [ 03370 ] [correction]
Soit f définie sur R 2 par
f(x, y) = x 3 + y 3 − 3xy − 1
a) Montrer que la condition f(x, y) = 0 définit au voisinage de (0, 1) une fonction
implicite x ↦→ y = φ(x).
b) Donner un développement limité à l’ordre 3 de φ au voisinage de 0.
Exercice 23 [ 03364 ] [correction]
Soit (a, b) ∈ R 2 , a > 0, b > 0. On note Γ l’ellipse d’équation
et D la partie de R 2 définie par
x 2
a
x 2
a
a) Calculer l’intégrale double
I =
2 + y2
2 + y2
− 1 = 0
b2 − 1 0
b2 (x
D
2 + y 2 ) dx dy
(on posera x = ar cos θ et y = br sin θ)
b) Calculer l’intégrale curviligne
J = (y 3 dx − x 3 dy)
c) Quelle relation existe-t-il entre I et J ?
Exercice 24 [ 03368 ] [correction]
a) Montrer que la forme différentielle
Γ
ω(x, y) = (xy − y 2 + 1) dx + (x 2 − xy − 1) dy
n’est pas fermée.
b) Déterminer les fonctions f : R → R dérivable telle que la forme différentielle
soit exacte et déterminer ses primitives.
ω(x, y)f(xy)
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