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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 85
Exercice 140 : [énoncé]
I) a) Soit H une primitive de la fonction h, celle-ci existe car h est continue.
Puisque la fonction h est positive, la primitive H est croissante.
Si l’intégrale de h sur [a, b] est nulle alors H(a) = H(b) et la croissance de H
entraîne sa constance. On en déduit que la fonction dérivée h est nulle.
b) On vérifier que l’on a bien défini une forme bilinéaire symétrique définie
positive.
c) On a
1
√ 1 1
−x
xe dx x dx e−2x √
1 − e−2 dx =
2
0
0
II) a) La fonction f est continue et de classe C 1 par morceaux sur R car elle l’est
sur [−π, π]. On en déduit que la série de Fourier de f converge uniformément vers
f.
b) Après calculs, pour n ∈ N,
n−1 2α sin απ
an = (−1)
π(n2 − α2 ) et bn = 0
c) Pour tout t = π, la convergence de la série de Fourier de f donne
cos(απ) =
et en posant x = απ on obtient
cos x =
ce qui fournit la relation demandée.
0
sin απ
απ +
+∞ 2α sin(απ)
π(α
n=1
2 − n2 )
sin x
x +
+∞
n=1
2x sin x
x 2 − (nπ) 2
Exercice 141 : [énoncé]
I) a) La fonction est intégrable car on a
√ xf(x) −−−→
x→0 0 et x3/2 f(x) −−−−−→
x→+∞ 0
b) La fonction n’est pas intégrable car
2e
f(x) ∼
x→2 +
−2
x − 2
II) a) Soit (e1, . . . , en) une base orthonormée de vecteurs propres de f.
Pour
on a
x = x1e1 + · · · + xnen
f(x) = λ1x1e1 + · · · + λnxnen
avec λi > 0 valeur propre associée au vecteur propre ei.
Ainsi, pour x = 0,
〈f(x) | x〉 = λ1x 2 1 + · · · + λnx 2 n > 0
b) Par opérations, la fonction g est de classe C 1 donc admet des dérivées partielles
relatives à n’importe quelle base.
Dans la base (e1, . . . , en), ses dérivées partielles sont
Dig(x) = λixi − ui
en notant u1, . . . un les composantes de u.
c) Il est alors immédiat que g admet un unique point critique qui est
z = u1
e1 + · · · +
λ1
un
en = f
λn
−1 (u)
Tout ceci serait plus simple, en parlant de différentielle plutôt que de dérivées
partielles.
d) Pour h ∈ E,
donc
g(f −1 (u) + h) = 1
2 (u + f(h) | f −1 (u) + h) − (u | f −1 (u) + h)
g(f −1 (u) + h) = g(f −1 (u)) + 1
2 (f(h) | h) g(f −1 (u))
car (f(h) | f −1 (u)) = (h | u) par adjonction.
Exercice 142 : [énoncé]
I) a) On vérifie aisément que l’on a bien défini une forme bilinéaire symétrique sur
E.
Pour f ∈ E, on a évidemment 〈f | f〉 0 par intégration bien ordonnée d’une
fonction positive.
Si 〈f | f〉 = 0 alors, puisque la fonction f 2 est continue et positive sur [−π, π], on
peut affirmer que f 2 , et donc f, est nulle sur [−π, π]. Enfin, puisque f est
2π-périodique, on peut conclure que f est la fonction nulle.
b) On a
〈f4, f5〉 = 1
π
1
sin(4x) dx = 0
π −π 2
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