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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 72
représentation matricielle triangulaire par blocs relative à une base adaptée à
l’espace non nul E(f, a).
b) La matrice A est de rang 1 donc 0 est valeur propre de A et par la formule du
rang dim E(A, 0) = 3.
Le polynôme caractéristique de A étant de degré 4 et factorisable par X 3 , c’est un
polynôme scindé. La somme des valeurs propres de A comptées avec multiplicité
vaut alors trA = 10.
Par suite 10 est valeur propre de A de multiplicité nécessairement 1.
Finalement A est diagonalisable semblable à diag(0, 0, 0, 10).
II) a) fp,k est définie et continue par morceaux sur ]0, 1].
Quand x ↦→ 0 + , √ xfp,k(x) = x p+1/2 (ln x) k → 0 donc fp,k(x) = o (1/ √ x).
Par suite fp,k est intégrable sur ]0, 1].
b) Par intégration par parties, Kp,k = − k
p+1 Kp,k−1.
c) Kp,k = (−1)k k!
(p+1) k Kp,0 = (−1)k k!
(p+1) k+1 , Jn = Kn,n = (−1)n n!
(n+1) n+1 .
d) x x = +∞
n=0
(x ln x) n
n!
pour tout x ∈ ]0, 1].
Posons fn : x ↦→ 1
n! (x ln x)n .
Les fonctions fn sont continues par morceaux et intégrables sur ]0, 1].
La série fn converge simplement sur ]0, 1] et sa somme, qui est x ↦→ x x , est
continue par morceaux sur ]0, 1].
Enfin 1
0 |fn(x)| dx =
1
(n+1) n+1 = o 1
n2 Par théorème, x ↦→ x x est intégrable sur ]0, 1] et
I = 1
0 xx dx = +∞
n=0
1
0 fn(x) dx = +∞
n=0
est terme général d’une série convergente.
(−1) n
(n+1) n+1 .
Exercice 110 : [énoncé]
I) Produit scalaire : facile.
La distance f2 à g sera minimale quand g est le projeté orthogonale de f2 sur
Vect(f1, f3).
Ce projeté g vérifie (f2 − g | f1) = (f2 ⎧
− g | f3) = 0 ce qui donne le système
⎪⎨
1
a + b = e − 1
2
.
⎪⎩ 1 1
a + = 1
3
2
Après résolution, on obtient a = 18 − 6e et b = 4e − 10.
II) Cf cours et critère de Cauchy.
L’espace Mn(R) est complet car de dimension finie.
Exercice 111 : [énoncé]
I) C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants de
solution générale homogène
y(x) = λ cos x + µ sin x
On obtient une solution particulière y(x) = λ(x) cos x + µ(x) sin x avec λ, µ
fonctions dérivables vérifiant
λ ′ (x) cos x + µ ′ (x) sin x = 0
−λ ′ (x) sin x + µ ′ (x) cos x = cos x
i.e. λ ′ (x) = − sin x cos x
µ ′ (x) = cos 2 x
Les expressions λ(x) = − 1
2 sin2 x et µ(x) = 1
4
y(x) = 1
2x sin x est solution particulière.
Finalement, la solution générale de l’équation est
1 sin 2x + 2x conviennent et
y(x) = 1
x sin x + λ cos x + µ sin x avec λ, µ ∈ R
2
II) La matrice, dans la base (i,j, k) de travail, de la forme quadratique associée est
Après calculs
A = 1
⎛
⎝
2
0 1 1
1 0 1
1 1 0
χA = −(X − 1)(X + 1/2) 2 , SpA = {1, −1/2}
i + j +
k (vecteur
Dans une base orthonormée de premier vecteur u = 1 √ 3
propre ⎛associé
à la valeur⎞propre 1), la matrice de la forme quadratique est
1 0 0
D = ⎝ 0 −1/2 0 ⎠.
0 0 −1/2
L’équation de la surface dans un repère orthonormé obtenu en conservant l’origine
et en considérant la base orthonormée précédente est x2 − 1
2 (y2 + z2 ) = λ.
C’est une surface de révolution d’axe (O; u)
Si λ = 0, c’est un cône de sommet O.
Si λ > 0, c’est un hyperboloïde à deux nappes.
Si λ < 0, c’est un hyperboloïde à une nappe.
⎞
⎠
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