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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 20
Exercice 109 [ 02570 ] [correction]
I) a)Soit f un endomorphisme d’un R-espace vectoriel de dimension finie. Si a est
valeur propre de f, de multiplicité m, et si E(f, a) est le sous-espace propre
attaché, montrer ⎛ que 1 dim⎞ E(f, a) m.
1 1 1 1
⎜
b) Soit A = ⎜ 2 2 2 2 ⎟
⎝ 3 3 3 3 ⎠ . Déterminer simplement les valeurs propres de A.
4 4 4 4
A est-elle diagonalisable ?
II) Soient p et k 2 entiers naturels, non nul. Soit fp,k : x ↦→ xp (ln x) k .
a) Montrer que fp,k est intégrable sur ]0, 1]. Soit Kp,k = 1
0 xp (ln x) k dx.
b) Exprimer Kp,k en fonction de Kp,k−1.
c) Exprimer Jn = 1
0 (x ln x)n dx en fonction de n.
d) I = 1
0 xx dx. Montrer que I = +∞
Exercice 110 [ 02571 ] [correction]
n=0
(−1) n
(n+1) n+1 .
I) Montrer que (f | g) = 1
f(t)g(t) dt définit un produit scalaire sur l’ensemble E
0
des fonctions continues sur R engendré par f1(x) = 1, f2(x) = ex et f3(x) = x.
Pour quels réel a et b la distance de f2(x) à g(x) = ax + b est-elle minimale ?
II) Montrer que dans un espace complet, toute série absolument convergente est
convergente. L’espace Mn(R) est-il complet ?
Exercice 111 [ 02572 ] [correction]
I) Résolvez sur R l’équation différentielle
y ′′ + y = cos x
en utilisant la méthode de variation des constantes.
II) Quelle est la matrice associée à la surface
xy + yz + zx = λ
avec λ ∈ R ?
Quelles sont ses valeurs propres ?
Montrer qu’il s’agit d’une surface de révolution autour d’un axe à déterminer.
Etude et tracé qualitatif suivant λ.
Exercice 112 [ 02573 ] [correction]
I) On considère la matrice
⎛
A = ⎝
1 1 a
0 2 0
0 0 a
où a est un nombre réel.
a) Quel est le rang de A ? La matrice A est-elle inversible ?
b) A est-elle diagonalisable ?
II) En indiquant les hypothèses nécessaires, effectuer le changement de variable
u = ϕ(t) dans l’équation différentielle
⎞
⎠
(1 + t 2 )x ′′ + tx ′ + a 2 x = 0
tel qu’elle devienne une équation à coefficients constants et la résoudre.
Exercice 113 [ 02574 ] [correction]
I) A l’aide ⎛ de manipulations élémentaires ⎞ déterminer le polynôme caractéristique
2001 1 5
de A = ⎝ 3 2001 3 ⎠.
4 2 2001
Est-elle diagonalisable ? Existe-t-il des matrices B telles que B2 = A ? Si oui,
combien ?
II) Pour f de classe C2 sur R +⋆ × R et de laplacien nul, on pose t = y
x et
h(t) = f(x, y).
Trouver une équation différentielle dont h est solution et la résoudre. En déduire
les fonctions f solutions.
Exercice 114 [ 02575 ] [correction]
I) a) Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur [a, b] à valeurs réelles.
Démontrez que si la suite (fn)n∈N converge uniformément vers f alors la suite
b
a fn(x)
dx converge vers
n∈N
b
f(x) dx.
a
b) Justifiez comment ce résultat peut être utilisé dans le cas des séries de
fonctions puis démontrez que :
1/2
0
+∞
n=0
x n dx =
+∞
n=1
1 1
n 2n II) Donner la matrice dans la base canonique de la projection sur le plan
x + y + z = 0 parallèlement à x = 1 1
2y = 3z. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD