[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 juin 2013 Enoncés 1 ...

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 52
Pour x = π, on obtient :
donc
puis
cos απ =
+∞
n=1
sin απ
απ −
+∞ 2α sin απ
π(n
n=1
2 − α2 )
1
n2 1 π cot απ
= −
− α2 2α2 2α
S(t) = − 1 π cot(tπ)
−
2t2 2t
Exercice 51 : [énoncé]
I) Points critiques (0, 1) et (0, e−2 ).
En (0, 1) : f(0, 1) = 0 et ∀x ∈ R, ∀y > 0, f(x, y) 0. Minimum global.
En (0, e−2 ) : rt − s2 = −4 < 0. Pas d’extremum local.
II) La famille (I, f, f 2 , . . . , f n2)
est formée de n2 + 1 éléments de l’espace L(E)
qui est de dimension n2 , cette famille est donc liée. Une relation linéaire sur les
éléments de cette famille donne un polynôme annulateur non nul de f. Bien
entendu, on pourrait aussi parler du polynôme caractéristique.
Exercice 52 : [énoncé]
I) a) S × [a, b] est compact et toute fonction continue sur un compact y est
uniformément continue.
Etudions la continuité de F en α ∈ R et considérons S = [α − 1, α + 1].
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀(x, t), (x ′ , t ′ ) ∈ S×[a, b] , (x, t) − (x ′ , t ′ ) ∞ η ⇒ |f(x, t) − f(x ′ , t ′ )| ε
Donc pour |x − α| η, on a
|F (x) − F (α)|
b
a
εdt = ε(b − a)
Ainsi F est continue en α.
b) (x, t) ↦→ ext est continue par opérations donc g l’est aussi par intégration sur un
segment.
Pour x = 0, g(x) = ex −1
x
et g(0) = 1. Sans difficultés g est continue sur R.
II) a) Il est immédiat que L est un endomorphisme de Mn(R).
Sp(L) = {a, a + n}, Ea(L) = ker(tr) et Ea+n(L) = Vect(In),
ΠL = (X − a)(X − (a + n)) car L est diagonalisable et donc son polynôme
minimal est le polynôme simple dont les racines sont les valeurs propres de L.
b) Par une base de diagonalisation, det L = a n2 −1 (a + n) et donc L est un
automorphisme si, et seulement si, a = 0, −n.
Par le polynôme minimal, on a L 2 − (2a + n)L + a(a + n)Id = 0 et donc
L −1 =
1
((2a + n)Id − L)
a(a + n)
Exercice 53 : [énoncé]
I) Soit F la primitive de f s’annulant en 0. F (x) −−−−−→
x→+∞ ℓ = +∞
f(t)dt
0
1 x
1 x
x
tf(t) dt = F (x) − 0 x F (t) dt.
0
1 x
x 0 F (t) dt − ℓ
1 x
x |F (t) − ℓ| dt.
0
∀ε > 0, ∃A 0, ∀t A, |F (t) − ℓ| ε.
Par continuité sur [0, A], |F (t) − ℓ| est majorée par un certain M > 0.
Pour x max(A, AM/ε) on a
1 x
1 A
1 x
x |F (t) − ℓ| dt = 0 x |F (t) − ℓ| dt + 0 x |F (t) − ℓ| dt 2ε
A
Par conséquent 1
x
1 x
x F (t) dt −−−−−→ ℓ puis lim
0 x→+∞ x→+∞ x tf(t) dt = 0.
0
1
1
1
· · ·
a1+b1
a1+bn−1 a1+bn
.
1
II) Dn = det
= .
. .
ai+bj
1i,jn
1
1
1
· · ·
an−1+b1
an−1+bn−1 an−1+bn
1
1
1
· · ·
an+b1
an+bn−1 an+bn
Via C1 ← C1 − Cn, . . . , Cn−1 ← Cn−1 − Cn puis factorisation :
Dn = (b1−bn)...(bn−1−bn)
1
1
· · ·
1
a1+b1
a1+bn−1
.
. .
(a1+bn)...(an+bn) 1
1
· · ·
1
.
an−1+b1
an−1+bn−1
1
1
· · ·
1
an+b1
an+bn−1
Via L1 ← L1 − Ln, . . . , Ln−1 ← Ln−1 − Ln puis factorisation :
Dn = (b1−bn)...(bn−1−bn)(a1−an)...(an−1−an)
1
1
· · ·
0
a1+b1
a1+bn−1
.
. .
(a1+bn)...(an+bn)(an+b1)...(an+bn−1) .
. .
1
1
· · ·
0
an−1+b1
an−1+bn−1
1 · · · 1 1
Par conséquent Dn =
1i