th`ese de doctorat - Neurosciences Cognitives & Imagerie Cérébrale ...

Chapitre 5. Recalage diéomorphique des empreintes sulcalesbasée sur les mesures sera grande quelque soit la forme respective des deux primitives.Au contraire, les variations dans les arêtes à une échelle très inférieure à σ I ne sont pasprises en compte. Nous reviendrons sur le réglage de ce paramètre au chapitre 6.L'équation (5.1) peut alors être ré-écrite de la façon suivante :avec le terme de régularité Reg déni ci-dessous.Jµ,ν sulc (φ) = γReg(φ) + ||φ(µ) − ν|| 2 I∗. (5.6)5.2 Large Deformation Dieomorphic Metric MappingComme on l'a vu dans l'état de l'art, il existe de nombreuses stratégies pour contraindrela régularité de la transformation (section 2.2 p.65). Notre objectif est de guider les grandesdéformations nécessaires au recalage interindividuel avec les primitives géométriques quesont les empreintes sulcales. La régularisation est particulièrement cruciale dans les méthodesgéométriques où les primitives doivent concentrer un maximum d'informations enun minimum de points : dans la majorité de l'espace, la transformation résultera de l'interpolationdes contraintes à partir des primitives au travers du terme de régularité. Nousavons choisi le cadre théorique reposant sur le modèle des grandes déformations diéomorphiques,plus connu sous le nom de Large Deformation Dieomorphic Metric Mapping[106, 150, 151, 71, 72] car il permet d'obtenir des déformations très régulières.Le modèle des grandes déformations a été construit à partir de la théorie fondatricedes splines de Bookstein [22]. Initialement, Bookstein a proposé d'écrire la transformationψ(x) = x+v(x) où v est le champ de déplacement correspondant aux contraintes donnéespar le terme de similarité, dont on peut évaluer le coût énergétique au travers d'une normeHilbertienne |v| V . Cette formulation du problème donne des algorithmes peu coûteux encalcul mais ne garantit que ψ est un diéomorphisme que si le déplacement v reste petit,c'est à dire si ψ reste proche de la transformation identité. La régularisation géodésiquedu modèle LDDMM permet d'obtenir une transformation correspondant à de grandsdéplacements tout en restant diéomorphique : en composant susamment de petitsdéplacements ψ i (x) = x + v i (x), on construit la transformation ψ par composition φ =ψ m ◦ ...ψ 1 de m diéomorphismes. φ est alors un diéomorphisme qui peut être loin del'identité et dont le coût est égal à ∑ mi=1 |v i| VEn passant à la limite, on obtient que la transformation φ est un diéomorphisme si98