th`ese de doctorat - Neurosciences Cognitives & Imagerie Cérébrale ...

5.2. Large Deformation Dieomorphic Metric Mappingelle est dénie comme une solution au temps t = 1 de l'équation diérentielle :⎧⎨∂ t φ v t = v t ◦ φ v t ,⎩φ v 0 = Id(5.7)où Id correspond à la transformation identité. Dans cette équation, v t : R 3 −→ R 3 estun champ de vecteurs qui modélise les variations innitésimales du ux de déformations.Pour garantir que φ soit un diéomorphisme, v t doit appartenir à l'espace de Hilbert Vdes champs de vecteurs réguliers sur l'espace 3D pour chaque pas de temps t.Suivant la formulation détaillée dans [71, 72], V peut être déni comme l'espace deHilbert à noyau reproduisant associé à un noyau noté K V : R 3 × R 3 → R xé préalablement.Les résultats développés par Glaunès et al. montrent qu'un choix convenable dunoyau K V permet alors de s'assurer de la régularité des)champs de vecteurs appartenantà V . En particulier, en xant K V (x, y) = exp(− |x−y|2σ , on peut contrôler la régularitéV2de la transformation diéomorphique nale au travers du paramètre σ V . On peut alorsécrire v t comme une fonction sur les trajectoires suivies par les points (x i ) 1≤i≤nx , notéesx it = φ v t (x i ) :∑n xv t (x) = K V (x it , x)α it , (5.8)i=1où pour chaque pas de temps t, α it ∈ R 3 est un ensemble de 3 ∗ n x paramètres appelésmoments satisafaisant le système linéaire suivant :∑n x∂ t x jt = K V (x it , x jt )α it (5.9)Ainsi, φ = φ v 1 est obtenue en intégrant v t pour t ∈ [0, 1], i.e.i=1∀z ∈ R 3 , φ v t (z) = z +∫ t0v s ◦ φ v s (z)ds (5.10)La gure 5.2 illustre cette construction.On dénit ensuite le coût d'un diéomorphisme φ comme sa distance à la transformationidentité :Reg(φ) = d 2 V (Id, φ) = infv{∫ 10}||v t || 2 V dt, φ v 1 = φ . (5.11)Cette distance évalue la quantité de déformation dans tout l'espace 3D et ne repose quesur un nombre ni de paramètres puisque l'expression de la norme au carré ||v t || 2 V estdonnée par :∑n x∑n x||v t || 2 V = K V (x it , x jt )〈α it , α jt 〉, (5.12)i=1j=199