th`ese de doctorat - Neurosciences Cognitives & Imagerie Cérébrale ...

6.1. Le modèle anatomique empiriqueforme du sillon.Cette approche contribue à la préservation de la topologie corticale en diusant lescontraintes tout en exploitant la totalité des informations sulcales disponibles.Fig. 6.4 Ensemble de points du modèle correspondant à la ssure calcarine de 20 hémisphèresdroits. Les contraintes sont naturellement distribuées en accord avec la densité despoints au travers de la description des primitives comme mesures. Elles sont plus diusesdans le rectangle vert que dans le bleu.Nous allons maintenant détailler l'élaboration d'un modèle empirique constitué d'uneseule primitive sulcale au travers de N empreintes individuelles. La généralisation à Sprimitives sulcales reprend l'enchaînement des équations (5.13) à (5.14). Suivant [70],nous notons (x pi ) 1≤p≤N,1≤i≤np , les N primitives formées de n p points décrivant le sillonà recaler entre les sujets ; a pi ∈ R leur poids associés et µ p = ∑ n pi=1 a piδ xpi , leur mesuresmathématiques respectives. Lorsque le sillon n'est pas présent chez un individu p, nousavons n p = 0 et la mesure associée est simplement µ p = 0. L'obtention de la mesure µdu modèle empirique peut être dénie comme le problème de la minimisation de l'énergiesuivante :{ ˆφ p , ˆµ} = arg minφ p,µN∑ { }γd2V (Id, φ p ) + ||φ p (µ p ) − µ|| 2 I . (6.1)∗p=1Remarquons que si φ p est xé, alors ˆµ est simplement la moyenne des masses de Diracassociées à l'union de tous les points φ p (x pi )ˆµ = 1 NN∑φ p (µ p ) = 1 Np=1n N∑ ∑ pa pi δ φp(xpi ). (6.2)p=1 i=1107