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8 Nicolò Beverini L’uso di questi prefissi moltiplicativi si è esteso a tutta la letteratura scientifico-tecnologica ed è quindi opportuno memorizzare almeno quelli più comuni, tra 10 –12 e10 12 . Va tenuto presente che la Convenzione prevede che, quando un'unità di misura con prefisso viene elevata a potenza, si intende che l'esponente si riferisce sia al prefisso sia all'unità: 2 cm 3 è perciò equivalente a 2"(10 -2 m) 3 = 2"10 -6 m 3 e 3 !s -1 equivalgono a 3" (10 –6 s) –1 = 3"10 6 s -1 . Per la misura degli angoli, il SI prevede infine l'uso del radiante (rad) per la misura degli angoli piani e dello steradiante (sr) per la misura degli angoli solidi. Ricordiamo che il radiante è definito come l'angolo piano compreso tra due raggi di un cerchio che, sulla circonferenza, intercettano un arco di lunghezza uguale al raggio stesso. Lo steradiante è definito come l'angolo solido che ha il vertice al centro di una sfera ed intercetta sulla superficie di questa un'area equivalente al quadrato del raggio. L’intera superficie sferica sottende quindi un angolo solido di 4! steradianti. Per meglio raggiungere il suo obiettivo di omogeneizzazione universale delle misure, la Convenzione del SI scoraggia l'uso di unità di misura non coerenti (e l’Unione Europea recepisce tale raccomandazione, imponendo l'uso delle unità SI in tutte le applicazioni commerciali). La Convenzione ammette comunque l’uso di alcune unità di misura, che sono al di fuori del sistema SI, ma che sono largamente diffuse e rivestono un ruolo importante nella vita di tutti i giorni. E’ il caso del minuto, dell'ora e del giorno (simboli min, h, d) quali unità di tempo, i gradi, i minuti primi e i minuti secondi (°,',") per la misura degli angoli, il litro (l) (definito equivalente a 1 dm 3 ) per le misure di capacità e la tonnellata (t), equivalente a 1000 kg, per misure di massa. Altre unità di misura non coerenti con il SI sono in uso in alcuni campi specifici della fisica (ad esempio l’atmosfera per le misure di pressione). E' chiaro che, quando si utilizzano misure espresse in unità non coerenti, occorrerà fare la massima attenzione nell'applicare le formule per evitare errori grossolani. 1.3 Equazioni dimensionali Come si è già detto. una legge fisica esprime una relazione funzionale tra le misure di differenti grandezze. Essa ha quindi la forma di un'uguaglianza (o di un’equazione), tra due espressioni. Perché un’uguaglianza abbia un senso, è ovviamente indispensabile che le quantità espresse dai due membri siano omogenee tra loro e siano quindi misurate con la stessa unità di misura. E' lo stesso concetto mai abbastanza ribadito alle scuole elementari, in base a cui le pere si sommano alle pere e gli asini agli asini, mentre è privo di senso sommare gli asini alle pere. Questa proprietà può tornare utile per verificare l’esattezza o meno di una formula, utilizzando le cosiddette equazioni dimensionali. Come si è visto, nell'ambito di un sistema coerente d’unità di misura sono definite alcune grandezze come fondamentali e da esse sono derivate le altre. Qualunque sia la forma di una superficie, la sua area è comunque sempre e-
Elementi di fisica spressa dal prodotto di due misure di lunghezza (eventualmente con l'aggiunta di costanti numeriche); così il volume di un solido è sempre espresso dal prodotto di tre misure di lunghezza e una velocità è sempre riconducibile al rapporto tra una misura di lunghezza e una misura di tempo. Si dice allora che la grandezza area ha le dimensioni fisiche di una lunghezza moltiplicata per se stessa (ovvero una lunghezza al quadrato), che la grandezza volume ha le dimensioni di una lunghezza al cubo, che la grandezza velocità ha le dimensioni di una lunghezza divisa per un tempo. Affermare che i due membri di un'eguaglianza (o gli addendi di una somma) devono essere omogenei tra loro è equivalente a verificare che essi hanno le stesse dimensioni fisiche e quindi sono esprimibili nelle stesse unità di misura. Una formula non rispetti questo criterio è senza dubbio errata. Ancora, le equazioni dimensionali risultano utili, quando l'espressione di una legge fisica contiene delle costanti fisiche. Per esempio, si consideri la legge di stato dei gas perfetti: pV = nRT Essa esprime la relazione esistente tra la pressione, la temperatura e il volume occupato di una quantità n di moli di gas perfetto. La costante R, che compare in questa formula, non è un numero puro, quale può essere invece " nella formula che esprime l'area del cerchio in funzione del raggio. Se si effettua l'analisi dimensionale della legge dei gas perfetti, si scopre che è necessario attribuire una dimensione fisica anche alla costante R, affinché i due membri dell'equazione abbiano uguali dimensioni. Il valore di R non è quindi un numero puro, ma dovrà essere espresso nelle adeguate unità di misura. Nel SI, in cui l'unità di volume è il m 3 e l'unità di pressione è il Pascal (Pa), R vale circa 8,314 J/mol!K. Se si usano unità di misura differenti, il valore numerico di R varierebbe di conseguenza: ad esempio, nell'uso comune dei chimici, abituati a misurare i volumi in litri e le pressioni in atmosfere, R vale 0,082 l"atm/(mol!K). 9
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