x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

Elementi di fisica
le gravitazionale mgh e energia potenziale elastica nulla (la fune non esercita
forza finché non viene allungata). Esso inizia a scendere per effetto della forza
peso, convertendo l’energia potenziale gravitazionale in energia cinetica.
Dopo che il corpo è sceso di una lunghezza pari ad l0, la fune inizia a tendersi
e quindi l’energia potenziale elastica comincia a crescere. Il punto più basso
raggiunto dal corpo è caratterizzato dal fatto che in tale punto la sua velocità
(e quindi l’energia cinetica) si annulla. In base alla [7.3], man mano che il
corpo scende è sempre verificata la relazione:
[7.7]
!U grav + !U elast = "!E cin
Nel nostro problema l’energia cinetica è nulla sia all’istante iniziale, sia nel
punto più basso raggiunto. La variazione di energia potenziale totale tra
punto iniziale e punto più basso deve perciò essere nulla, ovvero
!U grav + !U elast = 0. Se hf è il valore (incognito) dell’altezza nel punto più basso,
il corrispondente valore dell’allungamento della fune è h – hf – l0 . Si ha
( ) e
quindi !Ugrav = mg h " h f
mina risolvendo l’equazione:
( ) 2
( ) ! 1
2 k h ! h ( f ! l ) 2
!U elast = " 1
2 k h " h f " l
mg h ! h f
. Il valore di hf si deter-
= 0.
7.6 Il bilancio energetico in presenza di forze dissipative.
Il principio di conservazione dell’energia meccanica non è più valido,
se sono presenti forze dissipative. Ciò non toglie che continui a valere il
teorema dell’energia cinetica. Quando a determinare il moto di un corpo
siano presenti sia forze conservative sia forze dissipative, si può
nell’equazione [6.19] separare il contributo delle forze conservative e delle
forze dissipative al lavoro totale. Detto Lcons il lavoro eseguito dalle forze
conservative e Ldiss il lavoro eseguito dalle forze dissipative, potremo scrivere:
[7.8]
L = Lcons + Ldiss = 1
2 mv 2 1
B ! 2 mv 2 (B ) (A )
A = Ecin ! Ecin ,
che, in base alla definizione data in precedenza di differenza d’energia potenziale
come il lavoro cambiato di segno fatto dalle forze conservative, diviene:
ovvero:
dove
[7.9]
[7.10]
(A )
Etot e
(B ) (A )
!"U + Ldiss = ! ( U (B) !U (A) ) + Ldiss = Ecin ! Ecin
(B )
Ldiss = [ Ecin +U (B) ] ! Ecin (A ) [ !U (A) ] = Etot (B ) (A )
! Etot
(B )
Etot rappresentano, rispettivamente, l’energia meccanica totale
in A e in B.
La [7.10] dice dunque che in uno spostamento la variazione
dell’energia meccanica di un corpo, intesa come somma della sua energia
potenziale e della sua energia cinetica, è pari al lavoro effettuato dalle forze
non conservative. Di norma, tenendo conto che una forza dissipativa agisce
(B ) (A )
in senso contrario al moto e che quindi Ldiss è negativo, si ha
< Etot .
E tot
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