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108 Nicolò Beverini 14.2 Il prodotto vettoriale ! ! Dati due vettori a e b , le cui direzioni formano tra loro un angolo ', si ! definisce prodotto vettoriale a ! ! ! b il vettore c , che ha come modulo il prodotto dei moduli moltiplicato per il seno dell’angolo ' ed è diretto ortogonalmente al piano definito dai due vettori, nella direzione da cui si osserva ! ! la rotazione di a verso b in senso antiorario (Fig. 14-1). E’ quindi: ! [14.3] c = ! a ! b sin! Fig. 14-1 ! ! Se a e b sono hanno la stessa direzione oppure hanno direzione opposta (' = 0° o ' = 180°) il risultato è nullo. Naturalmente, invertendo nel prodotto i due fattori, si inverte il senso di rotazione; come conseguenza si inverte anche la direzione del vettore prodotto (Fig. 14-2). Il prodotto vettoriale non gode quindi della proprietà commutativa, propria del prodotto tra grandezze numeriche. In effetti si ha: [14.4] Fig. 14-2 ! a ! ! b = " ! b ! ! a
Elementi di fisica 14.3 Moto di una carica in un campo magnetico uniforme Come si è detto, un corpo di massa m e carica q in moto in un campo magnetico è soggetta alla ! forza di Lorentz. Supponiamo che il campo sia uniforme (cioè il vettore B abbia lo stesso modulo e la stessa direzione ! in tutti i punti) e che ! inizialmente essa si muova con una velocità v , diretta ortogonalmente a B . E’ dunque ' = 90° e l’accelerazione cui è sottoposta la qv B carica è in modulo pari a . La direzione di tale accelerazione è ortogo- ! m nale a v , cioè ortogonale alla traiettoria; essa quindi non fa cambiare il valore del modulo della velocità, ma ne ! cambia invece la direzione. Poiché l’accelerazione ! è anche ortogonale a B , il moto resterà confinato nel piano ortogonale a B . Non cambiando dunque né il modulo della velocità né l’angolo tra velocità e campo magnetico, non cambia neppure il valore del modulo dell’accelerazione. Dalla cinematica sappiamo che il moto di un corpo soggetto ad un’accelerazione ortogonale alla direzione del moto e costante in modulo è un moto circolare uniforme. Il raggio R della traiettoria circolare si trova ricordando che nel moto v circolare uniforme l’accelerazione centripeta deve essere uguale a 2 . Si ha R quindi: ovvero: [14.5] qv B m = v2 R R = mv q B . Il caso in cui ' = 0° è banale: la forza è nulla e quindi la particella continua a muoversi di moto rettilineo uniforme. Esaminiamo il caso in cui l’angolo ' tra la direzione della velocità e quella del campo magnetico sia diversa da 0° e da 90°. Scomponiamo il vet- ! tore velocità v in due componenti, v | e v1 , rispettivamente nella direzione ! ! di B e nella direzione ! ortogonale a B . La componente della forza di Lorentz in direzione di B , e quindi la componente dell’accelerazione della particella in tale direzione, è nulla; perciò v | si mantiene ! costante. La forza di Lorentz agisce invece sul piano ortogonale a B ; la proiezione del moto della particella su tale piano è un moto circolare uniforme, con velocità v1 e raggio R = mv ! . Il moto complessivo è dunque la composizione di un moto uni- q B ! forme nella direzione ! di B e di un moto circolare uniforme nella direzione ortogonale a B ; ne risulta in definitiva un moto a spirale della particella intorno alle linee del campo. Il senso di rotazione dipende dal segno della carica: antiorario per una carica positiva, orario per una carica negativa. Il fatto che la forza di Lorentz agente su una particella carica in movimento sia sempre diretta ortogonalmente alla traiettoria del corpo si ma- 109
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