x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

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94 Nicolò Beverini Come si vede, la differenza d’energia potenziale [12.2] è il prodotto tra il valore della carica del corpo in movimento e un termine B # ! ! E " d ! s , che di- pende solo dal campo elettrico e quindi dalla distribuzione di cariche che generano il campo. Questo secondo termine, che possiamo interpretare come il valore della differenza di energia potenziale tra il punto B ed il punto A di un corpo che porta la carica unitaria, prende il nome di differenza di potenziale elettrostatico. DEFINIZIONE: LA DIFFERENZA DI POTENZIALE ELETTROSTATICO TRA DUE PUNTI A E B È DEFINITA COME IL LAVORO CAMBIATO DI SEGNO PER PORTARE LA CARICA UNITARIA DA A A B. [12.3] !V = V ( B) " V ( A) = " LAB B $ q = " ! E # d ! s Da questa definizione si ricava che l’unità di misura nel sistema internazionale del potenziale elettrostatico è pari a 1 joule / 1 coulomb. Essa prende il nome di volt (V). Di norma si assume il riferimento di zero del potenziale elettrostatico all'infinito, cioè a grande distanza dalla cariche generanti il campo. Il potenziale elettrostatico di un punto A è allora così definito: [12.4] ! V ( A) = ! E " d ! A $ s # 12.2 Potenziale elettrostatico di una carica puntiforme Si abbia una carica puntiforme q. Ci proponiamo di calcolare quale sia il valore del potenziale elettrostatico generato da essa nello ! spazio circostante. Sappiamo che il campo elettrico ad un distanza r dalla carica è ! E = 1 q r ˆ ; il valore del potenziale elettrostatico in un punto A , posto alla 2 4!" 0 r distanza rA dalla carica si calcola utilizzando la definizione [12.4]: ! V ( A) = ! E " d ! A rA 1 q $ s = ! $ dr = ! 2 # # 4%& 0 r q 4%& 0 In funzione della distanza r si ha quindi: [12.5] r A V ( r ) = q 4!" 0r . A 1 $ dr = ! 2 # r q 4%& 0 ' ( ) A ! 1 r * + r =r A , r =# = q 4%& 0r A Se a generare il campo sono da più cariche puntiformi q1, q2, q3,…, il potenziale in un punto A si calcola in base al principio di sovrapposizione dei campi elettrici [11.6]: ! V ( A) = ! E " d ! A ! $ s = ! Ei " d # ! A ! $ % s = ! E i i " d # ! A ! $ % ( s) = ! E i i " d # ! A % $ s , i # .
essendo Elementi di fisica ! E i il campo generato dalla carica qi. A ! Osservando che ! E "d i ! s è il valore del potenziale elettrostatico Vi $ # generato in A dalla carica qi, si ottiene infine: [12.6] ( ) = V i V A ! = 1 i 4"# o qi ! , essendo rA,i la distanza tra A e la carica qi. Nel caso di una distribuzione continua di cariche, nella [12.6] la somma diviene un integrale: [12.7] V ( A) = ! V dq r i rA,i dove l’integrale è esteso a tutto il volume V occupato dalle cariche. Si noti qui una importante differenza tra le formule [11.6] e [11.7], che descrivono la sovrapposizione dei campi elettrostatici generati da un insieme di cariche, e le formule [12.7] e [12.9], che descrivono la sovrapposizione dei potenziali elettrostatici generati da un insieme di cariche. Mentre nelle prime occorre effettuare delle somme vettoriali, spesso assai laboriose, per sovrapporre i potenziali si effettuano somme algebriche. 12.3 Potenziale di un conduttore Come si è visto nel § 11.6, in condizioni statiche all’interno di un conduttore il campo elettrico è nullo. Di conseguenza, la differenza di potenziale tra due punti di un conduttore è nulla ed il valore del potenziale è uniforme in ogni suo punto o, come si dice normalmente, il conduttore è equipotenziale. In condizioni statiche si può quindi definire un potenziale del conduttore. Esso è il lavoro, cambiato di segno, necessario a portare la carica unitaria dall’infinito alla superficie di esso. Nel caso di una sfera conduttrice di raggio a e carica Q, essendo il campo elettrico all’esterno della sfera identico a quello generato da una carica puntiforme posto nel centro, il valore del potenziale è: [12.8] A ! V = ! E "d conduttore ! 1 q s = ! dr = $ $ 2 4%& # 0 r # 1 Poiché la Terra può essere considerata nel suo insieme come un corpo conduttore, l'espressione mettere a terra, che esprime il fatto di collegare un corpo conduttore alla Terra tramite un altro conduttore, significa che tale corpo è posto a potenziale nullo. a 4%& 0 q a . 95
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