x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

[5.7]
t
Elementi di fisica
!
v ( t)
= ! " a ( t!
) d t!
+ ! v = 0 ! a d t!
0
t
" +
0
! v = 0 ! at + ! v0 In termini delle componenti vettoriali, indicando con v0x, v0y, v0z le compo-
!
!
nenti del vettore v 0 e con ax, ay, az, le componenti del vettore a , la relazione
vettoriale [5.7] equivale all’insieme di tre relazioni scalari:
( ) = axt + v0x ( ) = ayt + v0y ( ) = azt + v0z ! vx t
#
[5.8]
" vy t
.
#
$ vz t
!
Siamo così giunti a determinare la funzione v ( t ) che esprime, nel caso
del moto uniformemente accelerato, la velocità del corpo in funzione del
tempo.
Nel § 3.2 la funzione velocità era stata definita come la derivata della
!
funzione posizione s t
( ) rispetto al tempo. Dalla [3.7] ricaviamo la formula:
[5.9]
d !
s = !
v ( t )dt
!
Si sostituisce in [5.9] la funzione v ( t ) trovata prima nella [5.7] e si integra
nuovamente su tutto l’intervallo di tempo tra 0 e t. L’integrale del
primo membro d ! !
s (t )
!
! s dà lo spostamento totale s ( t ) ! !
s ( 0).
Si ottiene quindi,
!
s (0)
svolgendo gli integrali:
[5.10]
!
s ( t ) ! !
s 0
( ) =
t
#
0
!
v ( t " )d t " =
che, indicando con x ( t ), y ( t ), z ( t ) le componenti del vettore
t
#
0
!
a t " + !
( v 0 )d t " = 1 !
a t
2
2 + !
v 0t
!
s ( t ), equivale a:
t
x(t) ! x(0) = v t"
x ( )d t " = # ( a t " +v x 0x )d t"
=
0
[5.11]
1
2 axt 2 t
#
+v t 0x
0
t
y(t) ! y(0) = v t"
y ( )d t " = # ( a t " +v y 0y )d t"
=
0
1
2 ayt 2 t
#
+v t 0y
0
t
t
z(t) ! z(0) = # v t"
z ( )d t " = # ( a t " +v z 0z )d t"
=
0
0
1
2 azt 2 $
&
&
&
%
.
&
&
&
+v t 0z
&
'
!
Indicando con s 0 = !
s ( 0),
di componenti x0,y 0,z 0 il valore del vettore
posizione all’istante iniziale t=0, possiamo quindi concludere che la legge
oraria del moto di un corpo soggetto ad accelerazione costante (moto uniformmemente
accelerato) è in generale della forma:
[5.12]
!
s ( t ) = 1 !
a t
2
2 + !
v 0t + !
s 0
che equivale, in termini delle coordinate spaziali del corpo:
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