x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

Elementi di fisica
Tale operazione può essere effettuata per ogni valore di t, definendo
così l’accelerazione istantanea come la derivata vettoriale della funzione velocità.
!
Si arriva così a definire la funzione (vettoriale) a ( t ) che esprime il valore
della velocità istantanea in funzione del tempo, come la derivata rispet-
!
to al tempo della funzione v ( t ):
!
[3.13]
a ( t ) = ! !
d v
v ! ( t ) =
dt
[3.14]
3.4 L’accelerazione centripeta.
"
$ ax ( t ) = v x! t
$
# ay ( t ) = v y! t
$
$ az ( t ) = v z! t
% $
( ) = dv x
dt
( ) = dv y
dt
( ) = dv z
Il fatto che un corpo si muova con velocità in modulo costante, non
implica che la sua accelerazione debba essere nulla. Infatti, anche se il modulo
della velocità è costante, non è detto che sia costante anche il vettore
velocità. In effetti, il vettore velocità ha, istante per istante, la direzione dello
spostamento d !
s , che è quello della tangente alla traiettoria. Ne consegue
che. se la traiettoria non è rettilinea, la direzione della sua tangente, e
quindi quella del vettore velocità, cambia; il cambiamento del vettore velocità,
in base alla [3.13], implica che c’è un’accelerazione.
Consideriamo il caso più semplice, quello di un corpo che si sta movendo
lungo una traiettoria circolare con velocità in modulo costante (moto
circolare uniforme) e calcoliamo esplicitamente quale sia il valore di tale accelerazione.
Riferiamoci alla Fig. 3-2. Detto v il valore (costante) del modulo della
velocità, vediamo che il modulo della differenza tra il valore della velocità
all’istante t2 e t1 è pari a ! ! v = 2v sin "
, essendo & l’angolo al centro (misu-
2
rato in radianti) corrispondente allo spostamento avvenuto lungo la circonferenza
nell’intervallo di tempo %t = t2 – t1. Poiché l’arco percorso in tale tem-
v " #t
po è v (t2 – t1), si ha ! = .
r
dt
23