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20 Nicolò Beverini Fig. 3-1 Supponiamo che il corpo si trovi all’istante t1 nel punto P1, le cui coordinate siano x1=x(t1), y1=y(t1), z1=z(t1) e che successivamente, all’istante t2 , esso si trovi nel punto P2, le cui coordinate siano x2=x(t2), y2=y(t2), z2=z(t2). Secondo quanto si è detto sopra, il primo punto è identificato dal ! vettore posizione s 1 = ! ! s ( t1) e il secondo dal vettore posizione s 2 = ! s ( t2 ). Definiamo spostamento il vettore che connette i due punti, graficamente rappresentato da una freccia che parte dal punto P1 e ha la punta nel punto P2. Tale vettore, che indicheremo col simbolo ! ! s , è dunque definito come la ! ! differenza tra i due vettori s 2 e s 1 ; le sue componenti sono %x = x2– x1, %y = y2– y1, %z = z2– z1. 3.2 La velocità Facendo il rapporto tra il vettore spostamento e l’intervallo di tempo ! %t=t2–t1 in cui tale spostamento avviene, si ottiene il vettore v m , che è definito come la velocità media nell’intervallo di tempo (t1,t2) del corpo. In forma vettoriale si scrive: ! ! s ( t2 ) ! [3.3] v m ( t1,t2 ) = ! s ( t1 ) = t2 !t1 " ! s "t . La [3.3] equivale, esprimendo i vettori nei termini delle loro componenti cartesiane, all’insieme delle tre relazioni scalari: [3.4] # % % % $ % % % & % ( vm )x = x t ( 2 ) ! x t1 t2 !t1 ( vm )y = y t ( 2 ) ! y t1 t2 !t1 ( vm )z = z t ( 2 ) ! z t1 t 2 !t 1 ( ) ( ) ( ) = "x "t = "y "t = "z "t
Elementi di fisica Dalla definizione data si ricava immediatamente che l’unità di misura della velocità nel Sistema Internazionale è la velocità media di un corpo che percorre una distanza di 1 metro in 1 secondo (m/s). Partendo dalla definizione data di velocità media, applicando ! i princi- pi dell’analisi matematica, possiamo definire il valore istantaneo v della ve- locità ad un certo istante t0, calcolando il limite per t1"t0 (ovvero, ponendo %t = t1–t0 il limite per %t " 0) dei rapporti che compaiono nella [3.4]: [3.5] $ & vx t0 & & % vy t0 & & & ' & ( ) = lim t1 !t 0 ( ) = lim t1 !t 0 ( ) " x t 0 x t 1 y t 1 t 1 "t 0 ( ) ( ) " y t 0 t 1 "t 0 ( ) z ( t1) " z t0 vz ( t0 ) = lim t1 !t 0 t 1 "t 0 ( ) #x = lim #t !0 #t #y = lim #t !0 #t #z = lim #t !0 #t Le formule che definiscono vx(t0), vy(t0), vz(t0) nella [3.5], matematicamente esprimono l’operazione di derivata in t0 delle funzioni x(t), y(t), z(t). L’insieme di queste tre relazioni può essere espresso vettorialmente nella forma: [3.6] ! v ( t0 ) = lim t1 !t 0 ! s t 1 Questa formula definisce la grandezza ! s t ( ) " ! s t0 t1 "t0 ! v t0 ( ) = lim #t !0 ( ) come la derivata della funzione ( ) nel punto t0; tale grandezza prende il nome di velocità istantanea all’istante t0. L’operazione può essere ripetuta per qualunque valore di t. Si defini- ! sce così la funzione vettoriale v ( t ), che esprime il valore della velocità istantanea in funzione del tempo, come la derivata vettoriale rispetto al tempo del- ! la funzione s ( t ): ! [3.7] v ( t ) = ! ! ! d s s ( t ) = dt [3.8] " $ vx ( t ) = x ! t $ # vy ( t ) = y ! t $ $ vz ( t ) = z ! t % $ ( ) = ( ) = ( ) = d x dt d y . dt d z dt L’espressione derivata vettoriale esplicita che al numeratore del rapporto incrementale figura una differenza tra due vettori e che di conseguenza il risultato dell’operazione di passaggio al limite fornisce un vettore. Un’osservazione importante. La [3.7] indica che il vettore velocità ha la direzione dello spostamento istantaneo, che è quella della tangente alla # ! s #t 21
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