x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

Elementi di fisica
Consideriamo dunque un corpo di massa m che si trova nel campo
gravitazionale generato da un corpo di massa M ad una distanza R da esso.
Il lavoro per portare quel corpo da una distanza molto grande ('*) ad una
distanza R può essere calcolato eseguendo l’integrale: 1
[10.8]
Poiché
dell’energia potenziale:
[10.9]
R !
L !"R = # f ( r ) $ d
!
! r = %GMm 1
R
#
! r
U (R) !U (") = !L "#R e
U !
2 dr
U ( R)
= ! GMm
R
= GMm
R
& )
'
( r *
+
=
!
GMm
R
( ) = 0, si ottiene come valore
Si noti il segno negativo che compare nella formula. Esso esprime il
fatto che, ponendo pari a zero il valore dell’energia potenziale a grande distanza,
l’energia potenziale di un corpo che si trovi nel campo gravitazionale
di un pianeta è dunque sempre negativa. Ciò implica che il corpo potrà
allontanarsi definitivamente (o come si dice normalmente, uscire dal campo
gravitazionale) solo se la sua energia totale (la somma dell’energia cinetica
e dell’energia potenziale) è positiva, cioè se ha la sua energia cinetica è
maggiore del valore assoluto della sua energia potenziale.
Calcoliamo in particolare qual è la velocità iniziale che si deve imprimere
ad un corpo che parta dalla superficie di un pianeta perché si allontani
definitivamente da esso. Indichiamo con M la massa del pianeta, con
R0 il suo raggio e con m la massa del corpo. L’energia potenziale alla partenza,
sulla superficie del pianeta vale !G Mm
. Perché il corpo si allontani
R0 definitivamente occorre che per r ' * esso possa conservare un’energia cinetica
#0. La velocità iniziale vi dovrà dunque soddisfare la condizione:
[10.10]
1
2 mv 2 Mm
i !G " 0
R0 La velocità minima per cui questa relazione è soddisfatta:
[10.11]
è detta velocità di fuga.
1 Il simbolo
b
"
( )
v f = 2GM
R
f x d x è una notazione che sintetizza l’espressione lim
a!"
!
b
#
a
( )
f x d x
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