x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

More documents

Recommendations

Info

50 Nicolò Beverini Le forze, per cui vale la legge [6.11] (nota anche come legge di Hooke), sono dette forze elastiche e costituiscono una classe di forze che si incontrano assai di frequente in fisica. Calcoliamo ora quale sia il lavoro effettuato dalla forza elastica su un corpo ad esso collegato, quando la molla passa da una lunghezza l1 = l0 + x1 ad una lunghezza l2 = l0 + x2, cioè quando l’allungamento x passa dal valore x1 al valore x2. Poiché la forza non è costante durante lo spostamento, si deve applicare la definizione generale [6.10] e calcolare perciò l’integrale: [6.13] x 2 ! L = f d x = x 1 x 2 ! x 1 2 # x & ( "kx )d x = " k % $ 2 ' x 2 ( x1 = " kx 2 2 2 + kx 2 1 2 . Effettuiamo in particolare il calcolo del lavoro fatto da una molla di costante elastica k, che inizialmente è allungata di un tratto x0, per riportarsi nella posizione d’equilibrio (x =0). Si ottiene: [6.14] 0 " ( ) L = !kx 6.7 Il teorema dell’energia cinetica x 0 d x = !k x # & $ % 2 ' 0 ( x0 = 1 2 kx 2 0 Si è visto in precedenza nel § 6.2 che lavoro ed energia cinetica sono grandezze omogenee tra loro. Esiste in effetti una relazione precisa tra il lavoro L eseguito da una forza ƒ su un corpo e la variazione di energia cinetica che questo subisce. Questa relaione è una diretta conseguenza della 2a ! legge della dinamica f = m ! a . Sappiamo infatti che la 2 a legge della dinamica può infatti essere scritta nella forma: [6.15] ! f = m ! Calcoliamo, usando la definizione [6.10], il lavoro dL fatto dalla forza f per spostare un corpo di una quantità infinitesima d ! s : [6.16] d L = ! f ! d ! s = m ! a ! d ! ! d v ! d s = m ! s = m dt ! v ! d ! v , dove si è applicata la definizione di velocità d ! v dt ! v = d ! s dt . Integrando la [6.16] sull’intero spostamento ed indicando con A e B il punto di partenza e il punto d’arrivo e con vA e vB i rispettivi valori della velocità: ! [6.17] L = f ! d ! B " s = m ! v ! d ! vB " v = 1 2 vB #$ 2 mv % & vA A v A = 1 2 mv 2 1 B ' 2 mv 2 (B ) (A) A = Ecin ' Ecin
Elementi di fisica Il risultato dimostra che, quando un corpo si sposta sotto l’azione di una forza, la sua energia cinetica varia di una quantità pari al lavoro eseguito dalla forza. La relazione [6.18] (B ) (A ) L = Ecin ! Ecin prende il nome di teorema dell’energia cinetica ed ha un valore assolutamente generale. 6.8 Applicazioni del teorema dell’energia cinetica. L’utilizzo del teorema dell’energia cinetica permette di risolvere in modo semplice molti problemi, evitando le difficoltà matematiche che assai spesso si dovrebbero afffrontare per risolvere completamente l’equazioni del moto. Vediamo qui alcuni esempi. a) Un’automobile si muove lungo una traiettoria orizzontale con velocità costante v0. Ad un certo istante si comincia a frenare, applicando una forza F costante, diretta in senso contrario al moto. Quanta strada fa l’auto prima di fermarsi? Per rispondere alla domanda nella maniera più semplice, senza bisogno di trovare esplicitamente la legge oraria del moto, possiamo applicare il teorema dell’energia cinetica. All’istante iniziale l’auto ha un’energia cinetica 1 2 mv 0 2 ; quando l’auto si ferma, la sua energia cinetica è nulla. La variazione d’energia cinetica è quindi tità 1 2 mv 2 0 ). !Ecin = " 1 2 mv 2 0 (essa diminuisce infatti di una quan- D’altra parte, se indichiamo con l lo spazio percorso dall’auto durante la frenata, il lavoro fatto dalla forza costante F è L = – F l (il segno negativo è dovuto al fatto che la forza è diretta in senso opposto al moto). Applicando il teorema dell’energia cinetica, si ha l’eguaglianza l = m 2F v 2 0 . !Fl = ! 1 2 mv 0 2 , ovvero Il risultato ottenuto dimostra che lo spazio necessario a fermare un’auto è proporzionale al quadrato della sua velocità iniziale; se questa raddoppia, lo spazio di frenata si moltiplica per quattro. Consideriamo ora il caso del moto di un corpo che scivola giù da un piano inclinato in assenza d’attrito: b) Un corpo scivola senza attrito lungo un piano inclinato, partendo da fermo da un’altezza h0. Qual è la sua velocità, quando arriva in fondo al piano inclinato? Il corpo è soggetto alla forza peso ed alla forza di reazione vincolare del piano, che come abbiamo visto nel § 5.4 ha direzione ortogonale al piano stesso. Visto che il corpo si muove sul piano, l’angolo tra la forza di reazione vincolare e la direzione del moto è sempre 90°; ne consegue che il lavoro fatto da tale forza è sempre nullo. Si deve quindi considerare solo il lavoro effettuato 51
Page 1: Nicolò Beverini Dipartimento di Fi
Page 4 and 5: 2 Nicolò Beverini 6. L’energia e
Page 6 and 7: 4 Nicolò Beverini
Page 8 and 9: 6 Nicolò Beverini do il rapporto t
Page 10 and 11: 8 Nicolò Beverini L’uso di quest
Page 12 and 13: Grandezze fondamentali 10 Unita' di
Page 14 and 15: 12 Nicolò Beverini 1.4 Grandezze s
Page 16 and 17: 14 Nicolò Beverini Si noti che il
Page 18 and 19: 16 Nicolò Beverini ! le componenti
Page 20 and 21: 18 Nicolò Beverini segni: nel caso
Page 22 and 23: 20 Nicolò Beverini Fig. 3-1 Suppon
Page 24 and 25: 22 Nicolò Beverini traiettoria. La
Page 26 and 27: Fig. 3-2 24 Nicolò Beverini Il mod
Page 28 and 29: 26 Nicolò Beverini 4.2 Il secondo
Page 30 and 31: 28 Nicolò Beverini sono uguali e c
Page 34 and 35: 32 Nicolò Beverini ! presentata da
Page 36 and 37: [5.13] 34 Nicolò Beverini x (t) =
Page 38 and 39: 36 Nicolò Beverini 0 = ! 1 2 gt 2
Page 40 and 41: 38 Fig. 5-1 Nicolò Beverini Che co
Page 42 and 43: 40 Nicolò Beverini da P; quando è
Page 44 and 45: 5.7 La forza d’attrito dinamico.
Page 48 and 49: 46 Nicolò Beverini me il prodotto
Page 50 and 51: 48 Nicolò Beverini Se il punto B n
Page 54 and 55: 52 Nicolò Beverini dalla forza pes
Page 56 and 57: 54 Nicolò Beverini china che produ
Page 58 and 59: 56 Nicolò Beverini 7.2 Forze conse
Page 60 and 61: 7.3 L’energia potenziale 58 Nicol
Page 62 and 63: 60 Nicolò Beverini Analizziamo il
Page 66 and 67: 64 Nicolò Beverini Definendo quant
Page 68 and 69: 66 Nicolò Beverini che legano i va
Page 72 and 73: 70 Nicolò Beverini Applicando la d
Page 74 and 75: 72 Nicolò Beverini Poiché 1 l =1
Page 76 and 77: 74 Nicolò Beverini Un corpo rigido
Page 78 and 79: 76 Nicolò Beverini da ciò che è
Page 80 and 81: 78 Nicolò Beverini La seconda legg
Page 82 and 83: 80 Nicolò Beverini Il periodo di r
Page 86 and 87: [11.2] 84 ! F = 1 4!" 0 11.2 Il cam
Page 88 and 89: Fig. 11-1 86 Nicolò Beverini Intro
Page 90 and 91: 11.5 Il teorema di Gauss. 88 Nicol
Page 92 and 93: 90 Nicolò Beverini conduttore attr
Page 94 and 95: 92 Nicolò Beverini Si può quindi
Page 96 and 97: 94 Nicolò Beverini Come si vede, l
Page 98 and 99: 12.4 I condensatori 96 Nicolò Beve
Page 100 and 101: 98 Nicolò Beverini condensatore pi
Page 102 and 103:
100 Nicolò Beverini
Page 104 and 105:
102 Nicolò Beverini quando attrave
Page 107 and 108:
Elementi di fisica [13.13] Vd - Va
Page 109 and 110:
Elementi di fisica 14. Il campo mag
Page 111 and 112:
Elementi di fisica 14.3 Moto di una
Page 113 and 114:
Elementi di fisica essendo a e b gl
Page 115 and 116:
Fig. 14-5 Elementi di fisica Il cam
Page 117 and 118:
Elementi di fisica 14.8 Campo magne
Page 119 and 120:
Elementi di fisica 15. L’elettrom
Page 121 and 122:
[15.2] Elementi di fisica e = ! d"
show all

x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?